《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与$\odot M$相交于$A$、$B$、$C$、$D$四点，其中$A$、$B$两点的坐标分别为$(-1,0)$、$(0,-2)$，点$D$在$x$轴上，且$AD$为$\odot M$的直径，$E$是$\odot M$与$y$轴的另一个交点，过圆上的点$F$作$FH\perp AD$于点$H$，且$FH = 1.5$.
（1）求点$D$的坐标及抛物线对应的函数表达式.
（2）若$P$是$x$轴上的一个动点，当$\triangle PEF$的周长最小时，求点$P$的坐标.
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点$Q$，使$\triangle QCM$是等腰三角形？如果存在，请直接写出点$Q$的坐标；如果不存在，请说明理由.
　　　　　
解析：（1）因为已有两个已知点，所以只需再求一个点的坐标，可利用勾股定理及方程思想求出$\odot M$的半径，进而求得点$D$的坐标.（2）利用圆的轴对称性将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.（3）分$QM = CM$、$CM = CQ$、$QM = CQ$三种情况讨论即可.
解：（1）连接$MB$.设$\odot M$的半径为$r$.$\because$点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(0,-2)$，$\therefore OA = 1$，$OB = 2$.$\therefore$在$Rt\triangle OMB$中，$OB = 2$，$OM = r - 1$.由勾股定理，得$2^{2}+(r - 1)^{2}=r^{2}$，解得$r = 2.5$.$\therefore AD = 5$，$OM = 1.5$.$\therefore$点$D$的坐标是$(4,0)$.$\because$抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点$A(-1,0)$、$B(0,-2)$、$D(4,0)$，$\therefore\begin{cases}0 = a - b + c,\\-2 = c,\\0 = 16a + 4b + c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-\frac{3}{2},\\c=-2.\end{cases}$$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{3}{2}x - 2$.
（2）连接$BF$、$MF$.$\because$易得点$E$、$B$关于$x$轴对称，$\therefore BF$与$x$轴的交点即为要求的点$P$.$\because$在$Rt\triangle MFH$中，$MF = 2.5$，$FH = 1.5$，$\therefore MH=\sqrt{MF^{2}-FH^{2}}=2$.$\therefore OH = OM + MH = 3.5$.$\therefore$点$F$的坐标为$(3.5,1.5)$.设直线$BF$对应的函数表达式为$y = kx + b'$.把$B(0,-2)$、$F(3.5,1.5)$代入，得$\begin{cases}-2 = b',\\1.5 = 3.5k + b',\end{cases}$解得$\begin{cases}k = 1,\\b'=-2.\end{cases}$$\therefore$直线$BF$对应的函数表达式为$y = x - 2$.令$y = 0$，则$x = 2$，$\therefore$点$P$的坐标是$(2,0)$.
（3）存在.点$Q$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$或$(\frac{3}{2},-\frac{5}{2})$或$(\frac{3}{2},-4)$或$(\frac{3}{2},-\frac{25}{16})$.
非常点评
正确求出点$D$的坐标是解第（1）小题的关键；找到$\triangle PEF$的周长最小时的点$P$的位置是解第（2）小题的关键；正确地进行分类讨论是解第（3）小题的关键.

答案：