《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例6 （1）如图①，点P在△ABC的边AC上，请你添加一个条件，使得△APB∽△ABC，这个条件可以是______________；
（2）如图②，在□ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，连接BE、AF，它们相交于点G，延长BE，交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有__________对；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在边AD上，且AE=8，EF⊥BE交CD于点F，则DF的长为__________。


解析：（1）本题属于母子型，已有公共角∠A=∠A，需另一组对应角相等：∠ABP=∠C（或∠APB=∠ABC）或夹公共角的两边对应成比例：$\frac{AP}{AB}=\frac{AB}{AC}$。（2）本题属于平行线型，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AD//BC。所以△ABG∽△FHG（“X”字型），△ABE∽△DHE（“X”字型），△DHE∽△CHB（“A”字型），△ABE∽△CHB（相似三角形的传递性）。所以图中的相似三角形共有4对。（3）本题属于一线三等角型，因为EF⊥BE，所以∠FEB=90°。所以∠DEF=90°-∠AEB。因为四边形ABCD为矩形，所以∠A=∠D=90°。所以∠ABE=90°-∠AEB。所以∠ABE=∠DEF。所以△ABE∽△DEF。所以$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，即$\frac{6}{12 - 8}=\frac{8}{DF}$。所以$DF=\frac{16}{3}$。
答案：（1）答案不唯一，如∠ABP=∠C。 （2）4。 （3）$\frac{16}{3}$。

答案：