《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例6（2024·滨州）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天的运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y(张)与售价x(元/张)之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：

（1）请求出y与x之间的函数表达式.
（2）设该影院每天的利润（利润 = 票房收入 - 运营成本）为w元，求w与x之间的函数表达式.
（3）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
解析：（1）由于y是x的一次函数，故可设y与x之间的函数表达式为y = kx + b，根据表格中数据用待定系数法求解.（2）由该影院每天票房收入 = 电影票售价×每天售出的电影票数量，每天的运营成本为2000元，根据括号里的利润公式，并结合（1）中的结果，可得w与x之间的函数表达式.
（3）先将（2）中的函数表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质及x的取值范围，可得答案.
解：（1）设y与x之间的函数表达式为y = kx + b.
由表格中的数据，当x = 40时，y = 164；当x = 50时，y = 124.
∴$\begin{cases}40k + b = 164,\\50k + b = 124,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -4,\\b = 324.\end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为y = -4x + 324(30≤x≤80，且x是整数).
（2）根据题意，得w = xy - 2000.∵y = -4x + 324，∴w = x(-4x + 324) - 2000 = -4x² + 324x - 2000.
∴w与x之间的函数表达式为w = -4x² + 324x - 2000(30≤x≤80，且x是整数).
（3）由（2），得w = -4x² + 324x - 2000 = -4$(x - \frac{81}{2})^2 + 4561$.
∵ -4＜0，30≤x≤80，且x是整数，
∴当x = 40或41时，w取得最大值，最大值为4560.
∴该影院将电影票售价定为40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元.

答案：