《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例2（2024·宜宾改编）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，连接AC。若∠CDB = 60°，则$\cos\angle ABC$的值为( )

A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB = 90°。所以∠ABC = 90° - ∠CAB。因为∠CAB、∠CDB均是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，所以∠CAB = ∠CDB = 60°。所以∠ABC = 90° - 60° = 30°。所以$\cos\angle ABC=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
答案：D.

答案：

典例3（2024·连云港期中）在△ABC中，$\sqrt{\sin A - 0.5}+|3\tan B - 3| = 0$，∠A、∠B均为锐角，则△ABC是________三角形(按角分类)。
解析：因为$\sqrt{\sin A - 0.5}+|3\tan B - 3| = 0$，所以$\sin A - 0.5 = 0$，$3\tan B - 3 = 0$，即$\sin A = 0.5$，$\tan B = 1$。又因为∠A、∠B均为锐角，所以∠A = 30°，∠B = 45°。所以∠C = 180° - 30° - 45° = 105°。因为∠C为钝角，所以△ABC是钝角三角形。
答案：钝角。

答案：

典例4 如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，$BB_1$是△ABC的高，$B_1B_2$是△$ABB_1$的高，$B_2B_3$是△$AB_1B_2$的高，$B_3B_4$
是△$AB_2B_3$的高……$B_nB_{n + 1}$是△$AB_{n - 1}B_n$的高（n为正整数，点$B_0$即为点B）。

（1）求$BB_1$、$B_1B_2$和$B_2B_3$的长；
（2）根据（1）中的计算结果，猜想$B_nB_{n + 1}$的长(用含n的代数式表示)。
解析：（1）不难求出，∠C = ∠$BB_1B_2$ = ∠$B_1B_2B_3$ = ∠$B_2B_3B_4$ = … = 60°，利用三角函数可求得$BB_1$、$B_1B_2$、$B_2B_3$的长。（2）根据$B_1B_2$、$B_2B_3$、$B_3B_4$的长，发现其中的规律，据此可得$B_nB_{n + 1}$的长。
解：（1）∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠C = 60°。∴ 在Rt△$BB_1C$中，$\sin C=\frac{BB_1}{BC}$，即$BB_1 = BC\cdot\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。在Rt△$BB_1B_2$中，$\cos\angle BB_1B_2=\frac{B_1B_2}{BB_1}$，且易求得∠C = ∠$BB_1B_2$ = ∠$B_1B_2B_3$ = ∠$B_2B_3B_4$ = … = 60°，∴ $B_1B_2 = BB_1\cdot\cos\angle BB_1B_2=\frac{1}{2}BB_1=\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2^2}$。同理，可得$B_2B_3=\frac{1}{2}B_1B_2=\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2^3}$。
（2）由（1），可知当n = 1时，$B_1B_2=\frac{\sqrt{3}}{2^2}$；当n = 2时，$B_2B_3=\frac{\sqrt{3}}{2^3}$。当n = 3时，易得$B_3B_4=\frac{1}{2}B_2B_3=\frac{\sqrt{3}}{16}=\frac{\sqrt{3}}{2^4}$。据此规律，可猜想$B_nB_{n + 1}=\frac{\sqrt{3}}{2^{n + 1}}$。
非常点评
1. 在求$B_1B_2$、$B_2B_3$、…、$B_nB_{n + 1}$的长时，也可运用“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”来解决。
2. 在猜想一般结论时，要善于发现计算结果蕴含的规律，如第（2）小题中的$2^2$、$2^3$、…、$2^{n + 1}$。特别要注意字母下标中的n与字母表达式的关系，防止因粗心而造成错误。

答案：