《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例1（2024·德城一模）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，CD平分∠ACB且交AB于点D，过点D作DE//BC且交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G. 若$\frac{AG}{EG}=\frac{7}{3}$，则tan A = ________.
　　
解析：如图②，过点G作GH//AD，交DE于点H. 所以$\frac{DH}{EH}=\frac{AG}{EG}=\frac{7}{3}$. 设EG = 3a，EH = 3b，则AG = 7a，DH = 7b. 所以AE = 10a，DE = 10b. 因为CD平分∠ACB，所以∠1 = ∠2. 因为DE//BC，所以∠3 = ∠2 = ∠1. 所以CE = DE = 10b. 所以CG = CE + EG = 10b + 3a. 因为GH//AD，DE//BC，∠ABC = 90°，所以∠GHE = ∠ADE = ∠ABC = 90°. 由折叠，得∠3 = ∠4 = ∠1. 因为∠DGE = ∠CGD，所以△DGE∽△CGD. 所以$\frac{DG}{CG}=\frac{EG}{DG}$. 所以$DG^{2}=EG\cdot CG = 3a\cdot(10b + 3a)=9a^{2}+30ab$. 因为∠DHG = ∠GHE = 90°，所以$GH^{2}=DG^{2}-DH^{2}$，$GH^{2}=EG^{2}-EH^{2}$. 所以$DG^{2}-DH^{2}=EG^{2}-EH^{2}$，即$9a^{2}+30ab-(7b)^{2}=(3a)^{2}-(3b)^{2}$. 所以$b=\frac{3}{4}a$. 所以$DE=\frac{15}{2}a$. 因为∠ADE = 90°，所以$AD=\sqrt{AE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{(10a)^{2}-(\frac{15}{2}a)^{2}}=\frac{5\sqrt{7}}{2}a$. 所以$\tan A=\frac{DE}{AD}=\frac{\frac{15}{2}a}{\frac{5\sqrt{7}}{2}a}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.
非常点评
在求锐角的正切值时，若没有已知任何线段长度，我们通常设一个未知数表示一条线段的长，根据这条线段与另一条线段的比例关系表示另一条线段的长，用“k值法”求. 由点G把线段AE分成固定比例的两条线段，想到过点G作GH//AD，从而得到$\frac{DH}{EH}$的值，这种转化已知的方法是一种较常见的思路.

答案：

典例2（2024·台儿庄二模）如图①，点C在线段AB上，且AC = 2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、正方形BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG的值为________.
　　　　　　　　
解析：如图②，连接CG. 因为四边形ACDE、四边形BCFG均为正方形，所以易得∠ECD = ∠GCF = 45°. 所以∠ECG = 90°. 设BC = BG = a，则AC = AE = 2BC = 2a. 在Rt△BCG中，因为∠B = 90°，所以由勾股定理，得$CG=\sqrt{BC^{2}+BG^{2}}=\sqrt{2}a$. 在Rt△ACE中，因为∠A = 90°，所以由勾股定理，得$CE=\sqrt{AC^{2}+AE^{2}}=2\sqrt{2}a$. 在Rt△CEG中，因为∠ECG = 90°，所以$\tan\angle CEG=\frac{CG}{CE}=\frac{\sqrt{2}a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{2}$.
非常点评
连接正方形的对角线是常添设的辅助线. 连接CG构造Rt△CEG是解本题的关键. 本题在得到∠ECG = 90°后，还可以通过证△CBG∽△EAC，得到$\frac{CG}{EC}=\frac{CB}{EA}=\frac{GB}{CA}$来求解，通过此种解法还可以发现，若把条件“AC = 2BC”改成“AC = nBC”，则可以快速得出$\tan\angle CEG=\frac{1}{n}$.

答案：