《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例精析
类型1 描述函数的变化规律
典例1（2024·淮安改编）已知二次函数y = ax² + bx + c的图像经过点A(0,8).
(1) c的值是_______.
(2) 该函数图像的顶点为P，若a = $\frac{1}{4}$.
①点P到x轴的距离为10，则b = _______；
②直线l经过点M(0,2b)且垂直于y轴，点P到直线l的距离为h，求h与b之间的函数表达式，描述h是如何随b变化而变化.
解析：(1)因为二次函数y = ax² + bx + c的图像经过点A(0,8)，所以c = 8.(2)由(1)和a的值，可得抛物线的顶点P的坐标为(-2b,-b² + 8).①因为点P到x轴的距离为10，所以|-b² + 8| = 10.所以-b² + 8 = 10或-b² + 8 = -10，解得b = ±3√2.②同理于①，可得h与b之间的函数表达式，根据函数表达式画出函数图像，根据函数图像，易得h随b的变化规律.
解：(1) 8.
(2) ①±3√2.
②由(1)，得二次函数的表达式为y = ax² + bx + 8.又∵a = $\frac{1}{4}$，∴y = $\frac{1}{4}$x² + bx + 8 = $\frac{1}{4}$(x + 2b)² - b² + 8. ∴点P的坐标为(-2b,-b² + 8). ∵直线l⊥y轴，且过点M(0,2b)，∴点P到直线l的距离h = |-b² + 8 - 2b| = |b² + 2b - 8|.分情况讨论：(ⅰ)当b² + 2b - 8 = 0，即b = -4或b = 2时，h = 0.(ⅱ)当b² + 2b - 8＞0，即b＜-4或b＞2时，h = b² + 2b - 8.(ⅲ)当b² + 2b - 8＜0，即-4＜b＜2时，h = -(b² + 2b - 8) = -b² - 2b + 8.综上所述，易得h与b之间的函数表达式为h = {b² + 2b - 8(b≤-4)， -b² - 2b + 8(-4＜b≤2)， b² + 2b - 8(b＞2)}.
∵-b² - 2b + 8 = -(b + 1)² + 9，∴h与b的函数图像如图所示.由图可知，当b≤-4时，h随b的增大而减小；当-4＜b≤-1时，h随b的增大而增大；当-1＜b≤2时，h随b的增大而减小；当b＞2时，h随b的增大而增大.

非常点评
第(1)小题属于基础题，须确保准确，第(2)①小题难度不大，为求第(2)②的函数表达式提供解题思路和方法.判断一个字母随另一个字母变化的情况时，我们一般首先构造函数模型(本小题前一小问已经做了提示)，把它转化成函数随自变量的变化情况，然后求出函数表达式，最后画出函数图像，根据函数图像，运用数形结合思想求解.

答案：

类型2 求代数式值的最值
典例2（2023·南通）若实数x、y、m满足x + y + m = 6，3x - y + m = 4，则代数式-2xy + 1的值可以是（ ）
A. 4 B. $\frac{5}{2}$ C. 2 D. $\frac{3}{2}$
解析：由于-2xy + 1中没有m，故m是多余的，于是想到消去m.将已知两式相减，得-2x + 2y = 2，所以y = x + 1.设w = -2xy + 1.所以w = -2x(x + 1) + 1 = -2x² - 2x + 1 = -2(x² + x) + 1 = -2[(x² + x + $\frac{1}{4}$) - $\frac{1}{4}$] + 1 = -2(x + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{3}{2}$.因为-2＜0，所以当x = -$\frac{1}{2}$时，w取得最大值$\frac{3}{2}$.由于4＞$\frac{5}{2}$＞2＞$\frac{3}{2}$，故选项A、B、C错误，选项D正确.
答案：D.
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解这类题目时，我们一般首先消去已知等式中的多余字母，得到与未知代数式相关的等式，然后用关于其中的一个未知数的代数式表示另一个未知数(通常这个未知数为一次项)，最后构造函数，用相关函数的性质求解.

答案：