《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例6 如图①，在□ABCD中，AB⊥AC，AB = 6，AD = 10，点P在边AD上运动，以点P为圆心，PA长为半径的⊙P与对角线AC所在直线交于A、E两点.
（1）如图②，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长.
（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与□ABCD的边有3个交点，随着AP长的变化，⊙P与□ABCD的边的交点的个数也在变化. 若交点的个数为4，求相对应的AP长的取值范围.
　
解析：（1）因为F是切点，考虑连接PF，易证PF//AC，则可得△DPF∽△DAC，利用对应边成比例可求AP的长.（2）观察⊙P的运动情况，可以发现它与□ABCD的边的交点情况：当它开始运动时，有2个交点；当运动到与边CD相切时，有3个交点；再向前运动，有4个交点；当运动到与边BC相切时，有5个交点；再向前运动，有6个交点；再向前运动到经过点C时，有4个交点；再向前运动有2个交点. 综上可以发现，当⊙P在与边CD相交且未与边BC相切时，有4个交点，经过点C时有4个交点，据此可求AP长的取值范围.
解：（1）连接PF. 设AP = x，则PD = 10 - x，PF = x. 由题意，得BC = AD = 10. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC =$\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD. ∴∠ACD = ∠BAC = 90°. ∵⊙P与边CD相切于点F，∴∠PFD = 90°. ∴∠PFD = ∠ACD. ∴PF//AC. ∴△DPF∽△DAC. ∴$\frac{PF}{AC}=\frac{PD}{AD}$，即$\frac{x}{8}=\frac{10 - x}{10}$，解得x =$\frac{40}{9}$. ∴AP =$\frac{40}{9}$.
（2）如图③，当⊙P运动到与边BC相切时，⊙P与□ABCD的边有5个交点. 设⊙P与BC相切于点G，连接PG，过点A作AH⊥BC于点H. ∴PG = AP，PG⊥BC. 由题意，得$\frac{1}{2}BC·AH=\frac{1}{2}AB·AC$，∴AH =$\frac{AB·AC}{BC}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$. ∵AD//BC，∴PG = AP = AH =$\frac{24}{5}$. 当⊙P经过点C时，有4个交点，易得此时AP = 5. ∵当⊙P在与边CD相交且未与边BC相切时，有4个交点，当⊙P经过点C时，有4个交点，∴AP长的取值范围是$\frac{40}{9}＜AP＜\frac{24}{5}$或AP = 5.
　　　　　　

答案：