《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例7 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重点，在计算tan 15°时，如图①，在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠ABC = 30°，AC = 1，延长CB，使BD = AB，连接AD，得∠D = 15°，所以易得$\tan 15^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2 + \sqrt{3}}=\frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}=2 - \sqrt{3}$. 类比这种方法，计算tan 22.5°的值为（ ）
A. $\sqrt{2}+1$ B. $\sqrt{2}-1$ C. $\sqrt{2}$ D. $\frac{1}{2}$

解析：如图②，在Rt△ACB中，∠C = 90°，∠ABC = 45°，延长CB，使BD = AB，连接AD. 所以$\angle D=\angle BAD=\frac{1}{2}\angle ABC = 22.5^{\circ}$. 设AC = 1，则易得BC = 1. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{2}$. 所以BD = AB = $\sqrt{2}$. 所以$CD=\sqrt{2}+1$. 所以$\tan 22.5^{\circ}=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$.
答案A
非常点评
阅读理解题是近几年中考中出现的一种新题型，主要考查同学们的自学能力及分析问题、解决问题的能力. 解答本题的关键是读懂阅读材料中所提供的解题信息，进行类比，构造出相应的图形.

答案：

例1 在△ABC中，∠B = 90°，BC = 3，AB = 5，求tan A的值.
正确解答：如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，
∴ tan A = $\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$.
　　　　　　　
误区分析 由于多数问题的条件是“在△ABC中，∠C = 90°”，受固定思维的影响，若不画出图形，则本题易误以为∠C的对边AB是斜边，导致出现错误答案.

答案：

例2 在△ABC中，AC = 8，BC = 15，AB = 17，求tan A的值.
正确解答：∵ AC² = 64，BC² = 225，AB² = 289，
∴ AC² + BC² = AB².
∴ △ABC为直角三角形，且∠C = 90°.
∴ tan A = $\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{15}{8}$.
误区分析 本题易忽视用锐角正切概念求正切值的前提条件——在直角三角形中，从而出现不判断△ABC为直角三角形，就直接计算tan A的值，导致出现解答过程不完整的错误.

答案：