《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例5（2024·永寿一模改编）如图①，排球场的长为18 m，宽为9 m，网高为2.24 m，队员站在底线点O处发球，球从点O的正上方1.9 m的点C处发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88 m，即BA = 2.88 m，这时水平距离OB = 7 m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图②.
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式（不必写出x的取值范围），并判断这次发球能否过网，是否出界.
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图①，点P距底线1 m、边线0.5 m），则发球点O在底线上的哪个位置（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4）？
　　　　
解析：（1）选用顶点式易求二次函数表达式.因为球向正前方运动，所以x轴与球网的交点坐标为(9，0).求出x = 9时的函数值，把这个函数值与2.24进行比较即可.易求抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标，把这个值与18进行比较即可.（2）由（1）可知这次球不是向正前方运动，而是沿OP的斜方向运动.如图③，连接OP，过点P作直线MN平行于底线，分别交边线于点M、N，过点O作边线的平行线交MN于点Q，则可求PQ的长，进而可得OH的长，从而确定点O的位置.
解：（1）由题意，易得点A的坐标为(7，2.88).设球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y = a(x - 7)² + 2.88.将x = 0，y = 1.9代入，得1.9 = a(0 - 7)² + 2.88，解得a = -$\frac{1}{50}$.∴y = -$\frac{1}{50}$(x - 7)² + 2.88.∵当x = $\frac{18}{2}$ = 9时，y = 2.8＞2.24，∴这次发球能过网.当y = 0时，-$\frac{1}{50}$(x - 7)² + 2.88 = 0，解得x₁ = 19，x₂ = -5(不合题意，舍去).∴球运行的水平距离为19 m.∵19＞18，∴这次发球出界了.
（2）如图③，连接OP，过点P作直线MN平行于底线，分别交边线于点M、N，过点O作边线的平行线交MN于点Q，则OQ⊥MN.
∴OQ = 18 - 1 = 17(m).由（1），得OP = 19 m.在Rt△OPQ中，∵∠OQP = 90°，
∴PQ = $\sqrt{19^{2}-17^{2}}$ = 6$\sqrt{2}$(m).∴易得OH = QN = 9 - 6$\sqrt{2}$ - 0.5≈0.1(m).∴发球点O在底线上距右侧边线约0.1 m处.
　　　　　

答案：