《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例3（2024·雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在点A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50 m至点B处，测得仰角为60°，那么这栋楼房的高度为（人的身高忽略不计）（ ）

A. $25\sqrt{3}$ m B. 25 m C. $25\sqrt{2}$ m D. 50 m
解析：设CD = x m。在Rt△ACD中，因为∠ACD = 90°，∠A = 30°，所以$\tan A=\frac{CD}{AC}$。所以$AC=\frac{CD}{\tan30^{\circ}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}x$（m）。在Rt△BCD中，因为∠BCD = 90°，∠DBC = 60°，所以$\tan\angle DBC=\frac{CD}{BC}$。所以$BC=\frac{CD}{\tan\angle DBC}=\frac{x}{\tan60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x$（m）。因为AB = 50 m，所以AC - BC = 50 m，即$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x = 50$，解得$x = 25\sqrt{3}$。所以这栋楼房的高度为$25\sqrt{3}$m。
答案：A。

答案：

示例4 如图①，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100 n mile的点A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的点B处。这时，点B处距离点A处有多远（参考数据：$\sin37^{\circ}\approx0.60$，$\cos37^{\circ}\approx0.80$，$\tan37^{\circ}\approx0.75$）?

解析：如图②，过点P作PC⊥AB于点C，则AB = AC + BC。在Rt△ACP、Rt△BCP中分别求出AC、BC的长即可。
解：如图②，过点P作PC⊥AB于点C，则∠ACP = ∠BCP = 90°。根据题意，得AP = 100 n mile，AB//PD，∴∠A = ∠DPA = 37°，∠B = ∠EPB = 45°。在Rt△APC中，∵∠ACP = 90°，∠A = 37°，AP = 100 n mile，∴PC = AP·$\sin A$ = 100×$\sin37^{\circ}\approx100×0.6 = 60$（n mile），AC = AP·$\cos37^{\circ}\approx100×0.8 = 80$（n mile）。在Rt△PBC中，∵∠BCP = 90°，∠B = 45°，PC = 60 n mile，∴$BC=\frac{PC}{\tan B}=\frac{60}{\tan45^{\circ}} = 60$（n mile）。∴AB = AC + BC = 80 + 60 = 140（n mile）。∴点B处距离点A处有140 n mile。
方法规律 解答这类问题时，一般首先通过添设辅助线构造直角三角形，然后把题中的方向角转化成直角三角形中的角，同时把相关距离转化成直角三角形的边长，最后解相关直角三角形得出答案。

答案：