《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例4（常熟模拟）如图①，在平面直角坐标系中，$A$、$B$为$x$轴上两点，$C$为$y$轴上一点，抛物线$y = mx^{2}-2mx - 3m(m\lt0)$经过$A$、$B$、$C$三点，$D$是抛物线的顶点.
（1）求$A$、$B$两点的坐标；
（2）求证：$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}$；
（3）当$\triangle BCD$为直角三角形时，求抛物线对应的函数表达式.
　
解析：（1）要求$A$、$B$两点的坐标，只需求关于$x$的方程$mx^{2}-2mx - 3m = 0$的解.（2）分别用含$m$的代数式表示$S_{\triangle AOC}$、$S_{\triangle BCD}$，据此可得$S_{\triangle AOC}$与$S_{\triangle BCD}$的数量关系，可证得结论成立.（3）易知$\angle CBD$为锐角，故当$\triangle BCD$为直角三角形时，需分$\angle BCD = 90^{\circ}$、$\angle BDC = 90^{\circ}$两种情况分别求解.
解：（1）在$y = mx^{2}-2mx - 3m$中，令$y = 0$，则$mx^{2}-2mx - 3m = 0$.$\therefore m(x - 3)(x + 1)=0$.$\because m\neq0$，$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=3$.$\therefore A$、$B$两点的坐标分别为$(-1,0)$、$(3,0)$.
（2）如图②，连接$DO$，过点$D$分别作$DF\perp x$轴于点$F$、$DE\perp y$轴于点$E$.$\because y = mx^{2}-2mx - 3m=m(x - 1)^{2}-4m$，$\therefore$抛物线的顶点$D$的坐标为$(1,-4m)$.$\therefore$易得$DE = OF = 1$，$OE = DF=-4m$.$\because$当$x = 0$时，$y=-3m$，$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-3m)$.$\therefore OC=-3m$.$\because A$、$B$两点的坐标分别为$(-1,0)$、$(3,0)$，$\therefore OA = 1$，$OB = 3$.$\therefore S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OA\cdot OC=-\frac{3m}{2}$.$\because S_{\triangle BCD}=S_{\triangle OCD}+S_{\triangle OBD}-S_{\triangle BCO}=\frac{1}{2}OC\cdot DE+\frac{1}{2}OB\cdot DF-\frac{1}{2}OB\cdot OC$，$\therefore S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\times(-3m)\times1+\frac{1}{2}\times3\times(-4m)-\frac{1}{2}\times3\times(-3m)=-3m = 2\times(-\frac{3m}{2})$.$\therefore S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}$.
（3）$\because CE = OE - OC=-4m + 3m=-m$，$\angle CED = 90^{\circ}$，$\therefore CD^{2}=CE^{2}+ED^{2}=m^{2}+1$.$\because BF = OB - OF = 3 - 1 = 2$，$\angle DFB = 90^{\circ}$，$\therefore BD^{2}=DF^{2}+BF^{2}=16m^{2}+4$.$\because \angle BOC = 90^{\circ}$，$\therefore BC^{2}=OC^{2}+OB^{2}=9m^{2}+9$.易知$\angle CBD$为锐角，$\therefore$分两种情况：①当$\angle BCD = 90^{\circ}$时，得$CD^{2}+BC^{2}=BD^{2}$，$\therefore m^{2}+1+9m^{2}+9=16m^{2}+4$，解得$m_{1}=-1$，$m_{2}=1$（不合题意，舍去），此时抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.②当$\angle BDC = 90^{\circ}$时，得$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$，$\therefore m^{2}+1+16m^{2}+4=9m^{2}+9$，解得$m_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$m_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（不合题意，舍去），此时抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}+\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}$.综上所述，当$\triangle BCD$为直角三角形时，抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$或$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x^{2}+\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
非常点评
在解与抛物线相关的几何证明题时，一般用计算法证明，而不是用几何逻辑推理证明.在解与直角三角形相关的综合题时，一般先利用勾股定理求出直角三角形的三边长的平方，然后按三角形的三个顶点为直角顶点分类，分别列方程，通过解方程得到答案.

答案：