《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例4 （1）（2024·句容期末）已知线段a=4cm，线段b=9cm，线段c是线段a、b的比例中项，则线段c=________；
（2）数5与9的比例中项是________.

答案： $(1)6cm(2)±3\sqrt{5}$

典例1（2024·沭阳期末）若$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，则$\frac{b - a}{b}=$________．
解析：本题有多种解法，可以用含字母$k$的代数式分别表示未知量$b$与$a$，或者变形后用分比性质，或者用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，或者逆用分式的运算法则，或者运用特殊值法，或者运用等式性质. 方法一（$k$值法）：由$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，可设$a = 3k(k\neq0)$，$b = 4k$，则$\frac{b - a}{b}=\frac{4k - 3k}{4k}=\frac{1}{4}$. 方法二（用分比性质）：因为$\frac{b - a}{b}=-\frac{a - b}{b}$，由$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，得$\frac{a - b}{b}=\frac{3 - 4}{4}=-\frac{1}{4}$，所以$\frac{b - a}{b}=\frac{1}{4}$. 方法三（消元法）：由$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，得$a=\frac{3}{4}b$，则$\frac{b - a}{b}=\frac{b-\frac{3}{4}b}{b}=\frac{1}{4}$. 方法四（逆用分式的运算法则）：$\frac{b - a}{b}=\frac{b}{b}-\frac{a}{b}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$. 方法五（特殊值法）：对于选择题与填空题等客观题，可以赋特殊值代入其中求解，如令$a = 3$，$b = 4$，代入$\frac{b - a}{b}$，得结果为$\frac{1}{4}$. 方法六（运用等式性质）：由$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$，得$-\frac{a}{b}=-\frac{3}{4}$，所以$1-\frac{a}{b}=1-\frac{3}{4}$，即$\frac{b - a}{b}=\frac{1}{4}$.
答案：$\frac{1}{4}$.

答案：

典例2 已知$\frac{x - y}{x + 2y}=\frac{1}{3}$，求$\frac{x - 2y}{x + y}$的值.
解析：根据比例的基本性质可以得到$x$与$y$的比，再用“$k$值法”求解.
解：$\because\frac{x - y}{x + 2y}=\frac{1}{3}$，
$\therefore3(x - y)=x + 2y$，得$2x = 5y$.
$\therefore\frac{x}{y}=\frac{5}{2}$.
设$x = 5k(k\neq0)$，则$y = 2k$.
$\therefore\frac{x - 2y}{x + y}=\frac{5k - 2\times2k}{5k + 2k}=\frac{1}{7}$.

答案：