《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

题型三 正弦、余弦与四边形的综合题
典例4 如图，在□ABCD中，AE平分∠DAB，CE = 6，BE = 8，DE = 10.
(1) 求证：∠BEC = 90°；
(2) 求cos∠DAE的值.
　　　　　　
解析：(1) 由于已知CE、BE的长，故要证∠BEC = 90°，可考虑求出BC的长，在△BEC中用勾股定理的逆定理证明. (2) 结合(1)可得∠ABE = 90°，故可把∠DAE转化成∠EAB来求.
解：(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ DC = AB = DE + CE = 10 + 6 = 16，AD = BC，DC//AB.
∴ ∠DEA = ∠EAB.
∵ AE平分∠DAB，
∴ ∠DAE = ∠EAB.
∴ ∠DAE = ∠DEA.
∴ AD = DE = 10.
∴ BC = 10.
∵ CE² + BE² = 6² + 8² = 100 = BC²，
∴ △BEC是直角三角形，且∠BEC = 90°.
(2) ∵ AB//CD，
∴ ∠ABE = ∠BEC = 90°.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE = $\sqrt{AB^{2}+BE^{2}}$ = $\sqrt{16^{2}+8^{2}}$ = 8$\sqrt{5}$.
∴ cos∠DAE = cos∠EAB = $\frac{AB}{AE}$ = $\frac{16}{8\sqrt{5}}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
非常点评
在求锐角三角函数的值时，当所求的锐角不在任何直角三角形中，可考虑把它转化到直角三角形中，若还不行，可考虑添设辅助线构造直角三角形来求解.

答案：

题型四 正弦、余弦与圆的综合题
典例5（2024·广安）如图①，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA = ∠CBA，G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线，与BC交于点F，与DC的延长线交于点E.
(1) 求证：DC是⊙O的切线；
(2) 若sin D = $\frac{4}{5}$，DA = FG = 2，求CE的长.
　　　
解析：(1) 如图②，连接OC. 要证DC是⊙O的切线，只需证明OC⊥CD即可，可通过∠OCA + ∠OCB = 90°，证∠OCD = 90°得到. (2) 设CE = x. 易证△DEG∽△DOC，得$\frac{DE}{DO}$ = $\frac{EG}{OC}$，据此可知要求CE的长，可先求⊙O的半径，故设⊙O的半径为r，由sin D，根据正弦的定义列方程求r.
解：(1) 如图②，连接OC.
∵ OB = OC，
∴ ∠OBC = ∠OCB.
∵ ∠DCA = ∠CBA，即∠DCA = ∠OBC，
∴ ∠DCA = ∠OCB.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB = 90°.
∴ ∠DCA + ∠OCA = ∠OCA + ∠OCB = 90°.
∴ ∠OCD = 90°. ∴ OC⊥CD.
∵ 点C在⊙O上，
∴ DC是⊙O的切线.
(2) 设⊙O的半径为r，则OD = r + 2.
∵ ∠OCD = 90°，
∴ sin D = $\frac{OC}{OD}$ = $\frac{4}{5}$.
∴ OC = $\frac{4}{5}$OD.
∴ r = $\frac{4}{5}$(r + 2)，解得r = 8.
∴ OC = OA = 8.
∴ CD = $\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{(8 + 2)^{2}-8^{2}}$ = 6.
∵ ∠DCA = ∠CBA，∠DCA + ∠ECF = ∠BFG + ∠CBA = 90°，
∴ ∠ECF = ∠BFG = ∠EFC.
∴ CE = FE.
设CE = FE = x.
∵ ∠D = ∠D，∠DGE = ∠DCO = 90°，
∴ △DEG∽△DOC.
∴ $\frac{DE}{DO}$ = $\frac{EG}{OC}$，即$\frac{x + 6}{10}$ = $\frac{x + 2}{8}$，解得x = 14.
∴ CE = 14.
非常点评
1. 证明圆的切线时，若该直线上有一点在圆上，则首先找到(或构造)以该点为端点的半径，然后证明这条半径与该直线垂直.
2. 若已知锐角三角函数值(如本题的sin D = $\frac{4}{5}$)，同时已知相关两边的数量关系(如本题的OD = OC + 2)，则可解这个锐角所在的直角三角形.

答案：