《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例5（2024·安次期末）如图，抛物线$y = x^{2}$在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$\cdots$、$A_{n}$、$\cdots$。将抛物线$y = x^{2}$沿直线$l:y = x$向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点$M_{1}$、$M_{2}$、$M_{3}$、$\cdots$、$M_{n}$、$\cdots$都在直线$l$上；②抛物线依次经过点$A_{1}$、$A_{2}$、$A_{3}$、$\cdots$、$A_{n}$、$\cdots$。顶点$M_{2023}$的坐标为________。

解析：因为$A_{2023}$是第2023个整数点，所以点$A_{2023}$的横坐标为2023。又因为点$A_{2023}$在抛物线$y = x^{2}$上，所以点$A_{2023}$的坐标为$(2023,2023^{2})$。因为抛物线的顶点$M_{1}$、$M_{2}$、$M_{3}$、$\cdots$、$M_{n}$、$\cdots$都在直线$l:y = x$上，所以可设顶点$M_{2023}$的坐标为$(m,m)$，则平移后的抛物线对应的函数表达式为$y=(x - m)^{2}+m$。由题意，得抛物线$y=(x - m)^{2}+m$经过点$A_{2023}(2023,2023^{2})$，所以$2023^{2}=(2023 - m)^{2}+m$，解得$m_{1}=4045$，$m_{2}=0$（不合题意，舍去）。所以点$M_{2023}$的坐标为$(4045,4045)$。
答案：$(4045,4045)$

答案：

典例6 如图，将抛物线$C_{1}:y = 2x^{2}-4x + 5$绕原点$O$在平面内旋转$180^{\circ}$后得到抛物线$C_{2}$，求抛物线$C_{2}$对应的函数表达式。

解析：根据题意可得抛物线$C_{1}$、$C_{2}$关于原点成中心对称，所以抛物线$C_{1}$、$C_{2}$的所有对应点也都关于原点成中心对称，且抛物线$C_{1}$、$C_{2}$的形状、大小相同，开口方向相反。
解：$\because$抛物线$C_{1}:y = 2x^{2}-4x + 5=2(x - 1)^{2}+3$，$\therefore$抛物线$C_{1}$的顶点坐标为$(1,3)$。根据题意，得抛物线$C_{1}$与$C_{2}$关于原点成中心对称，$\therefore$抛物线$C_{1}$、$C_{2}$的形状、大小相同，开口方向相反，抛物线$C_{1}$、$C_{2}$的顶点也关于原点成中心对称。$\therefore$抛物线$C_{2}$对应的函数表达式中的二次项系数和抛物线$C_{1}$对应的函数表达式中的二次项系数互为相反数，抛物线$C_{2}$的顶点坐标为$(-1,-3)$。$\therefore$抛物线$C_{2}$对应的函数表达式中的二次项系数为$-2$。$\therefore$抛物线$C_{2}$对应的函数表达式为$y=-2(x + 1)^{2}-3=-2x^{2}-4x - 5$。
非常点评
1. 本题把图形的旋转问题转化为点的旋转问题来求解，这种方法是解这类题较常见的方法。
2. 由于抛物线$C_{1}$上任意一点$P(x,y)$关于原点的对称点是$P'(-x,-y)$，所以本题还可以把抛物线$C_{1}$对应的函数表达式中的$x$、$y$分别用$-x$、$-y$替换，并化简得到抛物线$C_{2}$对应的函数表达式。

答案：