《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例1（2024·永修一模）二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像如图所示，则一次函数$y=-ax + b$与反比例函数$y=\frac{c}{x}$在同一平面直角坐标系内的大致图像是 （ ）

解析：由二次函数的图像，易知$a＞0$，$c＜0$。因为函数图像的对称轴在$y$轴的左侧，所以$-\frac{b}{2a}＜0$。因为$a＞0$，所以$-a＜0$，$b＞0$。所以一次函数$y=-ax + b$的图像是一条自左向右呈下降趋势的直线，且与$y$轴的交点$(0,b)$在$y$轴的正半轴上。所以选项C、D错误。因为$c＜0$，所以反比例函数$y=\frac{c}{x}$的图像的两个分支分别在第二、四象限。所以选项B错误。
答案：A.

答案：

典例2（2024·广安改编）如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a、b、c$为常数，$a\neq0)$与$x$轴交于点$A(-\frac{3}{2},0)$，对称轴是直线$x = -\frac{1}{2}$。有下列结论：①$abc＜0$；②$a - 4c＞0$；③$am^{2}+bm\leqslant\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b$（$m$为任意实数）；④$3a + 4c = 0$。其中，正确的结论有 （ ）

解析：因为抛物线的开口向下，所以$a＜0$。因为抛物线交$y$轴于正半轴，所以$c＞0$。因为抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，所以$\frac{b}{a}=1＞0$。因为$a＜0$，所以$b＜0$。所以$abc＞0$。故①错误。因为抛物线的顶点在$x$轴的上方，所以当$x = -\frac{1}{2}$时，$y＞0$。所以$\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b + c＞0$。因为$\frac{b}{a}=1$，所以$b = a$。所以$\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}a + c＞0$，即$-\frac{1}{4}a + c＞0$。所以$a - 4c＜0$。故②错误。因为抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$，所以当$x = -\frac{1}{2}$时，二次函数取最大值为$a\times(-\frac{1}{2})^{2}+b\times(-\frac{1}{2})+c=\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b + c$。因为$m$为任意实数，所以$am^{2}+bm + c\leqslant\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b + c$。所以$am^{2}+bm\leqslant\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b$（$m$为任意实数）。故③正确。因为点$A(-\frac{3}{2},0)$在抛物线上，所以$\frac{9}{4}a-\frac{3}{2}b + c = 0$。所以$9a - 6b + 4c = 0$。因为$b = a$，所以$9a - 6a + 4c = 0$，即$3a + 4c = 0$。故④正确。综上所述，正确的结论有③④，共2个。
答案：B.

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