《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型4 旋转型
典例4（2024·盐城）如图①，点C在以AB为直径的⊙O上，过点C作⊙O的切线l，过点A作AD⊥l，垂足为D，连接AC、BC.
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC = 5，CD = 4，求⊙O的半径.

解析：（1）易得∠ACB = ∠ADC，要证△ABC∽△ACD，可证另外一组对应角相等.如图②，连接OC.由切线的性质，可证OC//AD，进而易证另外一组对应角（∠CAB与∠DAC）相等.（2）由（1），根据相似三角形的性质，求出AB的长，进而得⊙O的半径.
解：（1）如图②，连接OC.
∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC//AD.
∴∠DAC = ∠ACO.
∵OA = OC，∴∠ACO = ∠CAB.
∴∠CAB = ∠DAC.
∵AD⊥l，∴∠ADC = 90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB = ∠ADC = 90°.
∴△ABC∽△ACD.
（2）在Rt△ADC中，∵∠ADC = 90°，
∴AD = $\sqrt{AC² - CD²}$ = $\sqrt{5² - 4²}$ = 3.
∵△ABC∽△ACD，∴$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AC}{AD}$.
∴$\frac{AB}{5}$ = $\frac{5}{3}$，解得AB = $\frac{25}{3}$.
∵AB为⊙O的直径，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$ = $\frac{25}{6}$.
非常点评
由于同圆的半径相等，故在证明与圆相关的两个三角形相似时，有时可以运用等腰三角形的底角相等，来寻找三角形相似的条件.求未知线段（如本题的AB）的长时，若它所在的三角形与某个三条边已知的三角形相似，则考虑运用相似三角形的性质求解.

答案：

类型5 一线三等角型（“K”字型）
典例5（2024·扬州改编）如图，点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB = 2，分别以AB、EF为边在直线l同侧作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN = 90°，直角边MP恒过点C，直角边MN恒过点H.
（1）若BE = 10，EF = 12，求点M与点B之间的距离；
（2）若BE = 10，当点M在点B、E之间运动时，求HE长的最大值.

解析：（1）设点M与点B之间的距离为m.由题易得∠CBM = ∠PMN = ∠MEH = 90°，则可得“K”字型相似三角形（△MCB∽△HME），根据相似三角形的性质可得关于m的方程，解之可得答案.（2）设HE = y，BM = x，由（1）可得y关于x的函数表达式，由函数的性质可得y的最大值，即HE长的最大值.
解：（1）设点M与点B之间的距离为m，则EM = 10 - m.
∵四边形ABCD、四边形EFGH为正方形，
∴BC = AB = 2，∠ABC = 90°，EH = EF = 12，∠HEF = 90°.
∴∠CBM = ∠MEH = 90°，∠CMB + ∠BCM = 90°.
∵∠PMN = 90°，
∴∠CMB + ∠EMH = 90°.
∴∠BCM = ∠EMH.
∴△MCB∽△HME.
∴$\frac{BC}{EM}$ = $\frac{BM}{EH}$，即$\frac{2}{10 - m}$ = $\frac{m}{12}$.
∴m² - 10m + 24 = 0，解得m1 = 4，m2 = 6.
∴点M与点B之间的距离是4或6.
（2）设HE = y，BM = x，则EM = 10 - x(0 ＜ x ＜ 10).
由（1），得$\frac{BC}{EM}$ = $\frac{BM}{EH}$，即$\frac{2}{10 - x}$ = $\frac{x}{y}$，
∴y = -$\frac{1}{2}$x² + 5x = -$\frac{1}{2}$(x - 5)² + 12.5.
∵ -$\frac{1}{2}$ ＜ 0，∴当x = 5时，y取最大值，为12.5.
∴HE长的最大值为12.5.
非常点评
解这类题目中一条直线（如本题中的直线l）上有多个直角（如本题中的∠CBM = ∠PMN = ∠MEH = 90°）时，我们通常通过寻找“K”字型相似三角形（如本题中的△MCB∽△HME），运用相似三角形的性质来解答.设HE = y，BM = x，由（1）的结论，构造函数模型，是解第（2）小题的关键.

答案：