《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例7（2024·高邮三模）如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），B为x轴正半轴上的动点，以AB为边在第一象限内作△ABC，使得∠BAC = 90°，$S_{\triangle ABC}=8$，连接OC，则OC长的最大值为________.
　　　　　　
解析：如图②，分别过点A、C作y轴、AC的垂线，两垂线交于点D，则∠OAD = ∠ACD = 90°. 所以∠OAB + ∠DAB = 90°. 因为∠BAC = 90°，所以∠CAD + ∠DAB = 90°，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB·AC$. 所以∠OAB = ∠CAD，$\frac{1}{2}AB·AC = 8$. 所以AB·AC = 16. 又因为∠AOB = ∠ACD = 90°，所以△AOB∽△ACD. 所以$\frac{AB}{AD}=\frac{AO}{AC}$. 所以AD·AO = AB·AC = 16. 因为点A的坐标为（0，4），所以AO = 4. 所以AD = 16÷4 = 4. 取AD的中点E，连接CE、OE，则AE = 2. 因为∠ACD = 90°，B为x轴正半轴上的动点，所以点C在以AD为直径的半圆E上运动. 易知当点O、E、C在一条直线上时，OC的长最大，这个最大值为OE + EC. 因为∠ACD = 90°，所以CE =$\frac{1}{2}AD = 2$. 因为∠EAO = 90°，所以OE =$\sqrt{AO^{2}+AE^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$. 因为OC≤OE + CE，即OC≤2$\sqrt{5}$+2，所以OC长的最大值为2$\sqrt{5}$+2.
　　　　　　
答案：2$\sqrt{5}$+2.

答案：