《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型1 与尺规作图的综合
典例8（2024·镇江改编）如图①，已知MN//PQ，A、B为PQ上两点，用无刻度的直尺作图.
（1）作AB的中点；
（2）在PQ上作BF = AB.

解析：（1）考虑到MN//PQ，故在MN上方任取一点C，连接AC交MN于点D，连接BC交MN于点G，连接AG、BD交于点O，连接CO交MN于点S，延长CO交AB于点E.根据得到的两组“A”字型相似三角形（△CDS∽△CAE、△CSG∽△CEB），易得$\frac{DS}{GS}$ = $\frac{AE}{BE}$.根据得到的两组“X”字型相似三角形（△DSO∽△BEO、△GSO∽△AEO），易得$\frac{DS}{GS}$ = $\frac{BE}{AE}$.所以$\frac{AE}{BE}$ = $\frac{BE}{AE}$.所以AE = BE，即E为AB的中点.所以点E即为所求.（2）由（1），易得DS = SG，于是考虑连接BS并延长，交AC于点R，连接RG并延长，交PQ于点F，通过构造两组“A”字型相似三角形，易知AB = BF.
解：（1）如图②，在MN上方任取一点C，连接AC交MN于点D，连接BC交MN于点G.连接AG、BD交于点O，连接CO交MN于点S，延长CO交AB于点E，则点E即为所求.
（2）如图②，连接BS并延长，交AC于点R，连接RG并延长，交PQ于点F，则点F即为所求.
非常点评
无刻度的直尺作图，即在作图过程中只能连线，不能度量.解第（1）小题时，画△ABC，同时得到△CDG，是比较容易想到的，但是通过连接AG与BD得到交点O，要证直线CO与PQ的交点E为AB的中点是有难度的.在第（1）小题的基础上，通过构造两个“共边”的“A”字型相似三角形，得到点F是容易想到的.

答案：