《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例2（2024·连云一模改编）如图①，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则cos$\frac{\angle ADC}{2}$的值是_______.
　　　
解析：如图②，点E、F为格点，则BE = EF = 2，DE//AF. 所以$\frac{BD}{DA}$ = $\frac{BE}{EF}$ = 1. 所以BD = DA. 因为AC² = 1² + 2² = 5，BC² = 2² + 4² = 20，AB² = 3² + 4² = 25，所以AC² + BC² = AB². 所以△ABC是直角三角形，BC = 2$\sqrt{5}$，AB = 5，∠ACB = 90°. 因为BD = DA，所以CD = $\frac{1}{2}$AB = BD. 所以∠CBD = ∠BCD. 所以∠ADC = ∠BCD + ∠CBD = 2∠CBD. 所以∠CBD = $\frac{\angle ADC}{2}$. 因为在Rt△ACB中，∠ACB = 90°，所以cos$\frac{\angle ADC}{2}$ = cos∠CBD = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
答案：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
非常点评
在求锐角的$\frac{m}{n}$或k倍(m、n、k为正整数)三角函数值时，我们一般首先运用几何图形的性质，把这个锐角的$\frac{m}{n}$或k倍角转化成另一个锐角，然后根据锐角三角函数的定义求出那个锐角的同名三角函数值，进而得到答案.

答案：

题型二 已知某角的一个三角函数值，求其他三角函数值
典例3（2024·姜堰二模）若∠A为锐角，cos A = $\frac{5}{13}$，则sin A = _______.
解析：构造符合题意的三角形. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，cos A = $\frac{5}{13}$，则$\frac{AC}{AB}$ = $\frac{5}{13}$. 可设AC = 5k(k＞0)，则AB = 13k. 根据勾股定理，得BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{(13k)^{2}-(5k)^{2}}$ = 12k，所以sin A = $\frac{BC}{AB}$ = $\frac{12k}{13k}$ = $\frac{12}{13}$.
　　　　　　
答案：$\frac{12}{13}$.
方法归纳
已知某角的一个三角函数值，求其他三角函数值的方法
解答这类题目时，先根据题意画出直角三角形，然后根据锐角三角函数的概念，借助“k值法”，设其中的一边长，表示出另一边长，并利用勾股定理求出用“k”表示的第三边长，最后利用锐角三角函数的概念求出答案.

答案：