《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

### 类型2 新定义问题
典例9（2023·盐城）定义：若一次函数与二次函数的图像有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数。
(1) 有下面两个函数：①y = x² - 1；②y = x² - x。其中，______为函数y = x - 1的轴点函数（填序号）。
(2) 函数y = x + c（c为常数，c＞0）的图像与x轴交于点A，其轴点函数y = ax² + bx + c的图像与x轴的另一个交点为B。若OB = $\frac{1}{4}$OA，求b的值。
(3) 如图，函数y = $\frac{1}{2}$x + t（t为常数，t＞0）的图像与x轴、y轴分别交于点M、C，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON = OC，以线段MN的长度为长，线段OM的长度为宽，在x轴上方作矩形MNDE。若函数y = $\frac{1}{2}$x + t的轴点函数y = mx² + nx + t的图像的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值。

解析与解：
(1) ①（函数①与y = x - 1的交点为(1,0)和(0,-1)，均在坐标轴上）。
(2) 分两种情况：
当B在x轴正半轴时，b = -3；
当B在x轴负半轴时，b = 5。
(3) 分三种情况讨论顶点P的位置：
在边DE上时，n = -1 - √2；
在边EM/MN上时，n = 1；
在边DN上时，n = $\frac{1}{4}$。

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读懂轴点函数定义是解题关键。第(3)小题需结合图像分类讨论，注意顶点P在不同边时的坐标特征。

答案：

### 考点五 二次函数与多边形的综合
典例10（2024·无锡）已知二次函数y = ax² + x + c的图像经过点A(-1, -$\frac{1}{2}$)和点B(2,1)。
(1) 求二次函数表达式。
(2) 比较点C(m+1,y1)、D(m+2,y2)的函数值大小。
(3) 在y轴上是否存在点N，使得以P、Q、M、N为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点N的坐标。

解：
(1) y = -$\frac{1}{2}$x² + x + 1。
(2) 当m ＞ -$\frac{1}{2}$时，y1 ＞ y2；当m = -$\frac{1}{2}$时，y1 = y2；当m ＜ -$\frac{1}{2}$时，y1 ＜ y2。
(3) 存在，点N的坐标可能为：
(0, $\frac{-15 + 5\sqrt{41}}{16}$)
(0, $\frac{5}{8}$)
(0,$\frac{-15-5\sqrt{41}}{16}$)
(0, -5)
(0,$-\frac{5}{8}$)
(0, 5)等（共6种情况）。

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第(3)小题需分PQ为边或对角线两种情况，结合全等三角形和函数性质求解，运算量较大但思路清晰。

答案：

### 类型2 探索字母数量关系
典例11（2023·扬州改编）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上.

（1)如果四个点（0，0)、（0，2)、（1，1)、（一1，1)中恰有三个点在二次函数y=ax²(a为常

数，且ａ+0)的图像上.

①a=

②如图①，菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且AD丄y轴，求菱形的边长.

③如图②，正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图像上，点B、D在y轴的右侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为s、t，试探究t一s的值是否为定值.若是，请求出这个值；若不是，请说明理由。

（2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y=ax²(a为常数，且α>0)的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，请直接写出m、n满足的等量关系式.

(1) ① a = 1；
② 菱形边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
③ t - s为定值1。
(2) m、n满足m + n = 0或n - m = $\frac{1}{a}$。

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构造“K”字型全等三角形是解决正方形问题的常用方法。第(2)小题需分类讨论点B、D的位置关系。

答案：