《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例2（南京模拟）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地.设小丽出发第x分钟时，小丽、小明离B地的距离分别为y₁ m、y₂ m. y₁与x之间的函数表达式为y₁ = -180x + 2250，y₂与x之间的函数表达式为y₂ = -10x² - 100x + 2000.
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为______m.
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解析：（1）因为x表示小丽出发的时间，所以小丽出发时，x = 0，此时y₁ = -180×0 + 2250 = 2250，y₂ = -10×0² - 100×0 + 2000 = 2000，即A、B两地相距2250 m，小丽出发时，小明离B地的距离为2000 m.所以小丽出发时，小明离A地的距离为2250 - 2000 = 250(m).（2）设小丽出发第x分钟时，两人相距s m，则可得s关于x的函数表达式，根据函数的性质可求得答案.
解：（1）250.
（2）设小丽出发第x分钟时，两人相距s m.
∵(-180x + 2250) - (-10x² - 100x + 2000)=10x² - 80x + 250 = 10(x - 4)² + 90≥90，∴s = 10(x - 4)² + 90.∵当小明到达B地时，y₂ = 0，则-10x² - 100x + 2000 = 0，解得x₁ = -20(不合题意，舍去)，x₂ = 10.∴0≤x≤10.∵10＞0，∴当x = 4时，s取得最小值，此时s = 90.∴小丽出发第4分钟时，两人相距最近，最近距离是90 m.

答案：

典例3（2024·荔城模拟）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图①）.
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H cm，如果在离水面竖直距离为h cm的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s(cm)与h(cm)的关系为s² = 4h(H - h).
应用思考：现用高度为20 cm的圆柱体塑料水桶做相关研究.水桶直立于地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔.
（1）写出s²与h之间的函数表达式，并求出当h为何值时，射程s取得最大值.最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a cm、b cm，要使两个小孔射出水的射程相同，求a、b之间的函数表达式.
（3）如果想通过垫高塑料水桶，使射出水的最大射程增加16 cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离.
　　
解析：（1）因为盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为20 cm，所以H = 20.由s² = 4h(H - h)可得s²与h之间的函数表达式，根据二次函数的性质易得答案.（2）当h分别取a和b时，由（1）中的s²与h之间的函数表达式，可分别得出s².因为两个小孔射出水的射程相同，即s相同，所以s²相等.故可列出关于a、b的等式，化简即可得到a、b之间的函数表达式.（3）设垫高的高度为m cm，用含m的代数式表示s²与h之间的函数表达式，根据函数的性质可用含m的代数式表示现在的最大射程.由（1）知原最大射程为20 cm，则新最大射程为36 cm，代入求出m及h的值.
解：（1）将H = 20代入s² = 4h(H - h)，得s² = 4h(20 - h)= -4(h - 10)² + 400.
∵ -4＜0，∴当h = 10时，s²取得最大值，为400.∴最大射程是20 cm.
（2）当h = a时，s² = -4(a - 10)² + 400；当h = b时，s² = -4(b - 10)² + 400.当两个小孔射出水的射程相同时，有-4(a - 10)² + 400 = -4(b - 10)² + 400，∴(a - 10)² = (b - 10)².∴(a - 10 + b - 10)(a - 10 - b + 10)=0.∴a + b = 20或a = b.∴a、b之间的函数表达式为a = -b + 20或a = b.
（3）设垫高的高度为m cm(m＞0)，则s² = 4h(20 + m - h)= -4$(h - \frac{20 + m}{2})^2 + (20 + m)^2$.当h = $\frac{20 + m}{2}$时，易得s最大 = 20 + m = 20 + 16，∴m = 16.此时h = $\frac{20 + m}{2}$ = $\frac{20 + 16}{2}$ = 18.∴垫高的高度为16 cm，小孔离水面的竖直距离为18 cm.

答案：