《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

例1 如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE//AC，交AB于点E。求证：$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AE}$。
　　　　　　
解析：要证$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AE}$，可以考虑利用等式的性质，两边同乘AE，转化成证明$\frac{AE}{AB}+\frac{AE}{AC}=1$，这时$\frac{AE}{AB}$可以转化成其他线段的比，而$\frac{AE}{AC}$不可以转化，由于可证AE = DE，可以考虑把它转化成$\frac{DE}{AC}$，于是可以证明$\frac{AE}{AB}+\frac{AE}{AC}=1$。
证明：∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ DE//AC，
∴ ∠CAD = ∠ADE。
∴ ∠BAD = ∠ADE。
∴ AE = DE。
∵ DE//AC，
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{CD}{CB}$，△BDE∽△BCA。
∴ $\frac{DE}{CA}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}$。
∴ $\frac{AE}{AB}+\frac{AE}{AC}=\frac{CD}{CB}+\frac{BD}{BC}$。
∴ $\frac{AE}{AB}+\frac{AE}{AC}=\frac{CD + BD}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$。
∴ $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AE}$。
非常点评
把需求证的式子$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AE}$转化成证明$\frac{AE}{AB}+\frac{AE}{AC}=1$是解本题的关键，这也充分体现了转化思想。

答案：

例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5 cm，∠BAC = 60°，动点M从点B出发，在边BA上以2 cm/s的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在边CB上以$\sqrt{3}$ cm/s的速度向点B运动，设运动时间为t s(0≤t≤5)，连接MN。
(1) 若BM = BN，求t的值。
(2) 若△MBN与△ABC相似，求t的值。
(3) 当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？最小面积是多少？
　　　　　　　　　　　
解析：(1) 先用含t的代数式分别表示BM、BN的长，再根据BM = BN得到关于t的方程，解之即可。 (2) 因为△MBN与△ABC相似没有指明对应顶点，但是由题图可知∠B是这两个三角形的公共角，即两个三角形中的B一定为对应顶点，而其余的两个顶点对应情况不确定，所以需分△MBN∽△ABC、△NBM∽△ABC两种情况进行解答。 (3) 过点M作MD⊥BC于点D，则MD//AC，△BMD∽△BAC，易得MD = t cm。 设四边形ACNM的面积为y cm²，根据S四边形ACNM = S△ABC - S△BMN，可得出y关于t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果。
解：(1) ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 5 cm，∠BAC = 60°，
∴ ∠B = 30°。
∴ 易得AB = 2AC = 10 cm。
∴ 由勾股定理，得BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $5\sqrt{3}$ cm。
由题意，知BM = 2t cm，CN = $\sqrt{3}t$ cm，
∴ BN = ($5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$)cm。
∵ BM = BN，
∴ 2t = $5\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
解得t = $10\sqrt{3}-15$(符合题意)。
∴ t的值为$10\sqrt{3}-15$。
(2) 分两种情况：
① 当△MBN∽△ABC时，$\frac{MB}{AB}=\frac{BN}{BC}$，即$\frac{2t}{10}=\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{5\sqrt{3}}$，
解得t = $\frac{5}{2}$(符合题意)。
② 当△NBM∽△ABC时，$\frac{NB}{AB}=\frac{BM}{BC}$，即$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{10}=\frac{2t}{5\sqrt{3}}$，
解得t = $\frac{15}{7}$(符合题意)。
综上所述，t的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{15}{7}$。
(3) 如图，过点M作MD⊥BC于点D，则MD//AC。
∴ △BMD∽△BAC。
∴ $\frac{MD}{AC}=\frac{BM}{BA}$。
设MD = b cm，则$\frac{b}{5}=\frac{2t}{10}$，
解得b = t，即MD = t cm。
设四边形ACNM的面积为y cm²。
∵ S四边形ACNM = S△ABC - S△BMN，且S△ABC - S△BMN = $\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}-\frac{1}{2}×(5\sqrt{3}-\sqrt{3}t)t$ = $[\frac{\sqrt{3}}{2}(t - \frac{5}{2})^{2}+\frac{75\sqrt{3}}{8}]$cm²，
∴ y = $\frac{\sqrt{3}}{2}(t - \frac{5}{2})^{2}+\frac{75\sqrt{3}}{8}$。
∵ $\frac{\sqrt{3}}{2}\gt0$，且0≤t≤5，
∴ 当t = $\frac{5}{2}$时，四边形ACNM的面积最小，
最小面积是$\frac{75\sqrt{3}}{8}$ cm²。
非常点评
1. 本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的性质及方程思想、分类讨论思想。 通过添设辅助线，把四边形ACNM的面积转化成两个可表示的三角形的面积之差，得到y关于t的函数表达式，是解第(3)小题的关键。
2. 当题中给出两个三角形相似，且没有用“∽”符号表示时，通常都需要进行分类讨论。

答案：