《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例3（乐山中考）如图①，在Rt△ABC中，∠C = 90°，$BC=\sqrt{5}$，D是AC上一点，连接BD. 若$\tan A=\frac{1}{2}$，$\tan\angle ABD=\frac{1}{3}$，则CD的长为（ ）
A. $2\sqrt{5}$ B. 3 C. $\sqrt{5}$ D. 2
　
解析：如图②，过点D作DE⊥AB于点E. 在Rt△ADE中，因为$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，所以设DE = k，则$\frac{k}{AE}=\frac{1}{2}$. 所以AE = 2k. 同理，可得BE = 3k. 所以AB = AE + BE = 2k + 3k = 5k. 在Rt△ABC中，因为$\tan A=\frac{BC}{AC}$，所以$\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{AC}$. 所以$AC = 2\sqrt{5}$. 所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=5$. 所以5k = 5，解得k = 1. 所以DE = 1，AE = 2. 所以在Rt△ADE中，由勾股定理，得$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$. 所以$CD = AC - AD=\sqrt{5}$.
答案C
方法归纳
已知锐角的正切值求线段长的方法
已知锐角的正切值求线段长时，一般先把这个锐角放到直角三角形中，若不行，则可以通过等角转化到直角三角形中（或构造直角三角形）. 若知道直角三角形中任意两边长，则能求出第三边长；若不知道任意两边长，则可以根据正切值，用“k值法”表示两条直角边长，利用勾股定理用含“k”的代数式表示斜边的长来解答.

答案：

典例4（2024·邵阳期末）如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上的点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC = 3，BD = 6，CD = 12，则tanα的值为________.
　　　　　
解析：由题意，易得∠A = α = β = ∠B. 在Rt△ACO中，因为$\tan A=\tan\alpha=\frac{CO}{AC}=\frac{CO}{3}$，所以CO = 3tanα. 同理，在Rt△BDO中，可得DO = 6tanα. 因为CD = CO + DO = 12，所以3tanα + 6tanα = 12，解得$\tan\alpha=\frac{4}{3}$.
$答案为\frac{4}{3}$
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利用同角或等角的正切值相等解决直角三角形中的问题是常用的方法. 本题也可以利用相似三角形求解，即由△ACO∽△BDO，得$\frac{AC}{BD}=\frac{CO}{DO}$，先求出CO、DO的长，再求tanα的值，但显然不如上述方法简便.

答案：

典例5（2024·通州段考）在△ABC中，∠A、∠C是锐角，若AB = 2，且tan C = 2tan A，则△ABC面积的最大值是（ ）
A. $\frac{3}{2}$ B. $4\sqrt{2}$ C. 6 D. 8
解析：由tan C = 2tan A，想到过点B作BH⊥AC于点H（如图），则∠BHC = ∠AHB = 90°. 所以$\tan C=\frac{BH}{CH}$，$\tan A=\frac{BH}{AH}$. 因为tan C = 2tan A，所以$\frac{BH}{CH}=2\times\frac{BH}{AH}$. 所以AH = 2CH. 设△ABC的面积为S，BH = h，CH = a，则AH = 2a，AC = CH + AH = 3a. 因为BH⊥AC，所以$S=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\times3a\cdot h=\frac{3}{2}ah$. 所以当ah取最大值时，S的值也最大. 在Rt△ABH中，因为∠AHB = 90°，所以$BH^{2}+AH^{2}=AB^{2}$. 所以$h^{2}+(2a)^{2}=2^{2}$. 所以$h^{2}=4 - 4a^{2}$. 所以$a^{2}h^{2}=a^{2}(4 - 4a^{2})=4(a^{2}-a^{4})=4(-a^{4}+a^{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4})=4[-(a^{2}-\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}]=-4(a^{2}-\frac{1}{2})^{2}+1$. 因为 - 4 ＜ 0，所以当$a^{2}=\frac{1}{2}$时，$a^{2}h^{2}$取最大值，这个最大值为1. 因为ah ＞ 0，所以ah的最大值为1. 所以S的最大值为$\frac{3}{2}$，即△ABC面积的最大值是$\frac{3}{2}$.
答案A
　　　　　　
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由于△ABC的底边AC、这个边上的高BH都是变量，故无法用几何模型来求△ABC面积的最大值，遇到这种情况时，我们通常首先用两个字母表示题中的两个变量，然后根据题中的条件，将其中一个字母用另一个字母来表示，进而构造函数模型（通常构造的都是二次函数），运用函数的性质来解答. 构造出$a^{2}h^{2}$关于$a^{2}$的二次函数模型是解本题的关键.

答案：