《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例6（2024·宣化期中改编）如图①，tan B = $\frac{4}{3}$，且DA⊥BA于点A，DC⊥BC于点C，DA = 3，DC = 7. 求四边形ABCD的面积.

解析：由∠C = 90°，DA = 3，可以想到延长CD、BA，使它们相交构成直角三角形，这样可把求四边形ABCD的面积转化成求两个直角三角形的面积之差.
解：如图②，延长CD、BA，它们相交于点E. ∵ DA⊥BA，DC⊥BC，∴ ∠DAE = ∠BCE = 90°. ∴ ∠ADE = 90° - ∠E，∠B = 90° - ∠E. ∴ ∠ADE = ∠B. ∴ tan∠ADE = tan B = $\frac{4}{3}$. 在Rt△ADE中，∵ tan∠ADE = $\frac{AE}{AD}$，∴ AE = AD·tan∠ADE = 3×$\frac{4}{3}$ = 4. ∴ DE = $\sqrt{AD^{2}+AE^{2}}$ = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5. ∴ CE = CD + DE = 7 + 5 = 12. 在Rt△BCE中，∵ tan B = $\frac{CE}{BC}$，∴ BC = $\frac{CE}{tan B}$ = $\frac{12}{\frac{4}{3}}$ = 9. ∴ S四边形ABCD = S△BCE - S△ADE = $\frac{1}{2}$×9×12 - $\frac{1}{2}$×4×3 = 48.
非常点评
对于含有直角的四边形的问题，通常通过添设辅助线构造直角三角形来求解，需注意的是，在添设辅助线时，尽量不要破坏原题中的角或已知锐角三角函数的角，特别是一些特殊角，否则会给解题造成麻烦，有时甚至会进入解题误区导致不能求解.

答案：

典例7（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B = ∠C = 90°，P是BC上一点，PA = PD，∠APD = 90°. 求证：AB + CD = BC.
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠B = ∠C = 45°，P是BC上一点，PA = PD，∠APD = 90°. 求$\frac{AB + CD}{BC}$的值.

解析：（1）先证△ABP≌△PCD，由全等三角形得AB = PC，BP = CD，据此易得结论成立.（2）分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F，结合（1）中的结论可得BC = 2（AE + DF）. 通过分别解Rt△ABE和Rt△DFC，可得AB + CD与AE + DF的数量关系，通过计算可得所求代数式的值.
解：（1）∵ ∠B = 90°，∴ ∠APB + ∠BAP = 90°. ∵ ∠APD = 90°，∴ ∠APB + ∠CPD = 90°. ∴ ∠BAP = ∠CPD. 在△ABP和△PCD中，$\begin{cases}∠B = ∠C \\ ∠BAP = ∠CPD \\ PA = DP\end{cases}$，∴ △ABP≌△PCD. ∴ AB = PC，BP = CD. ∴ AB + CD = PC + BP = BC.
（2）如图③，分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F. 由（1），易得AE + DF = EF. 在Rt△ABE和Rt△DFC中，∠B = ∠C = 45°，∴ 易得AE = BE，DF = CF，AB = $\frac{AE}{sin 45°}$ = $\sqrt{2}$AE，CD = $\frac{DF}{sin 45°}$ = $\sqrt{2}$DF. ∴ BC = BE + EF + CF = 2(AE + DF)，AB + CD = $\sqrt{2}$(AE + DF). ∴ $\frac{AB + CD}{BC}$ = $\frac{\sqrt{2}(AE + DF)}{2(AE + DF)}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
非常点评
分别把AB、CD转化成PC、BP是解第（1）小题的关键. 通过添设辅助线把第（2）小题的图形转化成与第（1）小题相关的图形，进而运用第（1）小题的结论是解第（2）小题的关键.

答案：