《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

题型五 与三角函数相关的阅读理解题
典例7 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cotα，即cotα = $\frac{\angle \alpha的邻边}{\angle \alpha的对边}$ = $\frac{AC}{BC}$. 根据上述“角的余切”的概念，解答下面的问题：
(1) 求cot 30°的值；
(2) 若tan A = $\frac{3}{4}$，其中∠A为锐角，试求cot A的值.
　　　　　　
解析：(1) 根据含30°角的直角三角形的性质与勾股定理，用斜边表示出两直角边的长，再根据余切的概念求解. (2) 由于tan A = $\frac{3}{4}$，所以可设在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 3k(k＞0)，则AC = 4k，然后利用角的余切的概念求解.
解：(1) 设在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，则易得BC = $\frac{1}{2}$AB.
∴ 由勾股定理，得AC = $\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$ = $\sqrt{AB^{2}-\frac{1}{4}AB^{2}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AB.
∴ cot 30° = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}AB}{\frac{1}{2}AB}$ = $\sqrt{3}$.
(2) 设在Rt△ABC中，∠C = 90°.
∵ tan A = $\frac{BC}{AC}$ = $\frac{3}{4}$，
∴ 可设BC = 3k(k＞0)，则AC = 4k.
∴ 在Rt△ABC中，cot A = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{4k}{3k}$ = $\frac{4}{3}$.
非常点评
从阅读“角的余切”的概念到简单运用该概念解题，可以类比之前学过的“正切、正弦与余弦”的概念及相关知识. 由余切的概念，不难发现，同角的正切与余切互为倒数，所以本题还可以利用这个关系来解答. 除余切是新概念外，第(2)小题与典例3是同一类型的题目.

答案：