《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例7（2023·无锡）某景区旅游商店以20元/千克的价格采购一款食品加工后出售，销售价格不低于22元/千克，不高于45元/千克.经市场调查发现，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式.
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的利润最大？最大利润是多少[利润 =（销售价格 - 采购价格）×销售量]?
　　　
解析：（1）由函数图像，可知此函数为分段函数，故需分22≤x≤30、30＜x≤45这两种情况分别求解.（2）设该商店销售这款食品每天获得的利润为w元.求出两种情况下w与x之间的函数表达式，根据二次函数的性质及自变量x的取值范围，求出函数的最值即可.
解：（1）分两种情况：①当22≤x≤30时，设y关于x的函数表达式为y = kx + b.∵点(22，48)、(30，40)在直线y = kx + b上，
∴$\begin{cases}22k + b = 48,\\30k + b = 40,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -1,\\b = 70.\end{cases}$∴y关于x的函数表达式为y = -x + 70(22≤x≤30).
②当30＜x≤45时，设y关于x的函数表达式为y = mx + n.∵点(30，40)、(45，10)在直线y = mx + n上，∴$\begin{cases}30m + n = 40,\\45m + n = 10,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -2,\\n = 100.\end{cases}$∴y关于x的函数表达式为y = -2x + 100(30＜x≤45).综上所述，y关于x的函数表达式为y = $\begin{cases}-x + 70(22\leqslant x\leqslant30),\\-2x + 100(30\lt x\leqslant45).\end{cases}$
（2）设该商店销售这款食品每天获得的利润为w元.分两种情况：
①当22≤x≤30时，w = (x - 20)(-x + 70)= -x² + 90x - 1400 = -(x - 45)² + 625.∵当22≤x≤30时，w随着x的增大而增大，∴当x = 30时，w取得最大值，最大值为-(30 - 45)² + 625 = 400.
②当30＜x≤45时，w = (x - 20)(-2x + 100)= -2x² + 140x - 2000 = -2(x - 35)² + 450.∴当x = 35时，w取得最大值，最大值为450.∵450＞400，∴当x = 35时，w的值最大，最大值为450.
∴当销售价格定为35元/千克时，该商店销售这款食品每天获得的利润最大，最大利润是450元.

答案：