《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例 求下列抛物线对应的函数表达式：
(1)（淮安期末）已知抛物线经过$(-1,10)$、$(1,4)$、$(0,3)$三点；
(2)（2024·鼓楼期末）已知抛物线经过点$(3,0)$、$(-2,0)$、$(0,6)$；
(3)（2024·蚌埠期末）已知抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，且抛物线经过点$(1,-3)$.
解析：(1) 宜用一般式，设$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$进行解答. (2) 宜用交点式，设$y = a(x - 3)(x + 2)(a\neq0)$进行解答. (3) 宜用顶点式，设$y = a(x + 1)^{2}+2(a\neq0)$进行解答.
解：(1) 设$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$. ∵ 抛物线经过点$(-1,10)$、$(1,4)$、$(0,3)$，∴ $\begin{cases}a - b + c = 10, \\a + b + c = 4, \\c = 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = 4, \\b = -3, \\c = 3.\end{cases}$ ∴ $y = 4x^{2}-3x + 3$.
(2) ∵ 抛物线与$x$轴的两个交点坐标为$(3,0)$、$(-2,0)$，∴ 可设$y = a(x - 3)(x + 2)(a\neq0)$. ∵ 抛物线经过点$(0,6)$，∴ $6 = a\times(0 - 3)\times(0 + 2)$，解得$a = -1$. ∴ $y = -(x - 3)(x + 2)$，即$y = -x^{2}+x + 6$.
(3) ∵ 抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$，∴ 可设$y = a(x + 1)^{2}+2(a\neq0)$. ∵ 抛物线经过点$(1,-3)$，∴ $-3 = a\times(1 + 1)^{2}+2$，解得$a = -\frac{5}{4}$. ∴ $y = -\frac{5}{4}(x + 1)^{2}+2$，即$y = -\frac{5}{4}x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{4}$.
方法规律 用待定系数法确定二次函数表达式的一般步骤：先设出宜选用的函数表达式，然后把点的坐标转化成自变量与函数值，分别代入函数表达式中，得到关于待定系数的方程或方程组，最后解方程或方程组求出待定系数的值，并写出函数表达式.

答案：