《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例精析
类型1 求线段的平方和的最值
典例6（2023·无锡）如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，∠DAB = 30°，∠ADC = 60°，BC = CD = 2.若线段MN在边AD上运动，且MN = 1，则BM² + 2BN²的最小值是（ ）
$A.\frac{13}{2} B.\frac{29}{3} C.\frac{39}{4} D.10$

解析：设y = BM² + 2BN².如图②，过点B作BF⊥AD于F，过点C作CE⊥AD于E，则BF//CE.要使BM² + 2BN²的值最小，则BM和BN的长要尽量小.易知此时点M、N在点F的两侧.因为∠CED = 90°，所以∠DCE = 90° - ∠ADC = 90° - 60° = 30°.所以易得DE = $\frac{1}{2}$CD = 1.所以CE = √(CD² - DE²) = √(2² - 1²) = √3.因为AD//BC，BF//CE，所以四边形BFEC为平行四边形.所以BF = CE = √3.设FM = x，则FN = 1 - x.因为∠BFM = ∠BFN = 90°，所以BM² = BF² + FM²，BN² = BF² + FN².所以y = BF² + FM² + 2(BF² + FN²) = 3 + x² + 2[3 + (1 - x)²] = 3x² - 4x + 11 = 3(x - $\frac{2}{3}$)² + $\frac{29}{3}$.因为3＞0，所以当x = $\frac{2}{3}$时，y取得最小值，最小值是$\frac{29}{3}$，即BM² + 2BN²的最小值是$\frac{29}{3}$.
答案：B.
非常点评
求这种线段的平方和的最值时，一般先设线段的平方和为y，然后选择设其中与已知线段相关的线段为x，通过寻找或构造直角三角形，运用勾股定理构建函数模型，运用函数的性质来解答.

答案：

类型2 制定获利最大的方案
典例7（2024·盐城改编）某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式.因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工“风”服装2件或“雅”服装1件或“正”服装1件.服装厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装的总件数和“风”服装的相等，每天加工的服装都能销售出去.扣除各种成本，服装厂每件“风”“正”服装的获利分别为24元、48元；当每天加工“雅”服装10件时，每件获利100元；如果每天每多加工1件，那么平均每件获利将减少2元.现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，该服装厂每天的总利润为w元.
(1)求x、y之间的数量关系；
(2)求w关于x的函数表达式；
(3)请制定使每天总利润最大的加工方案.
解析：(1)因为服装厂共安排70名工人，每名工人每天只能加工一种服装，所以安排(70 - x - y)名工人加工“正”服装.因为每名工人每天可加工“正”服装1件，所以加工“正”服装的总件数为(70 - x - y)×1.因为每名工人每天可加工“风”服装2件，安排y名工人加工“风”服装，所以加工“风”服装的总件数为2y.根据“‘正’服装的总件数和‘风’服装的相等”，可得x、y之间的数量关系.
(2)先用含x、y的代数式表示w，再由(1)用含x的代数式表示y，则可得w与x之间的等量关系，整理后可得w关于x的函数表达式.(3)把(2)中w与x之间的函数关系转化成顶点式，根据二次函数的性质及隐含条件x、y都为正整数，求出函数w取最值时，x、y、70 - x - y的值，可得获利最大的加工方案.
解：(1)根据题意，得(70 - x - y)×1 = 2y.所以x、y之间的数量关系为x + 3y = 70.
(2)根据题意，得w = 2y×24 + (70 - x - y)×48 + x[100 - 2(x - 10)] = 72x - 2x² + 3360.
∴w关于x的函数表达式为w = -2x² + 72x + 3360(x≥10，且x为正整数).
(3)由题意，得w = -2x² + 72x + 3360 = -2(x - 18)² + 4008. ∵ -2＜0，∴当x = 18时，w取最大值. ∵x + 3y = 70，∴y = -$\frac{1}{3}$x + $\frac{70}{3}$. ∴当x = 18时，y = -$\frac{1}{3}$×18 + $\frac{70}{3}$ = $\frac{52}{3}$，不符合题意. ∴当x = 17或x = 19时，w取最大值.当x = 17时，y = -$\frac{1}{3}$×17 + $\frac{70}{3}$ = $\frac{53}{3}$，不符合题意；当x = 19时，y = -$\frac{1}{3}$×19 + $\frac{70}{3}$ = 17，符合题意，此时70 - x - y = 34.
∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润.
非常点评
本题是2024年盐城中考数学试卷的倒数第二题，属于压轴题，难度不大，但是阅读量比较大.原题是表格形式，由“生产背景”“信息整理”“探究任务”三个板块组成的，阅读量更大，但是相对本题的难度小一些.由于x、y表示的是人数，故解第(3)小题时，不能忽视“y是正整数”这个隐含条件.

答案：