《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例1（2024·睢宁模拟）如图①，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD//EG，滑台的高DG为4 m，且坡面BC的坡度为1∶1，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1∶√3.
（1）求新坡面AC的坡角及AC的长.
（2）原坡面底部BG的正前方10 m外（EB = 10 m）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7 m，请问：新的设计方案能否通过？请说明理由（参考数据：√3≈1.73）.

解析：（1）为了运用已知条件中坡度的数据，需过点C作CH⊥BG于点H，则可得∠CAH及CH的长，在Rt△ACH中，可求出AC的长.（2）由坡面BC的坡度，结合（1）的数据可得BH、AH的长，则可得AB、AE的长，若AE的长大于或等于7 m，则新的设计方案能通过，否则不能.
解：（1）如图②，过点C作CH⊥BG于点H.
∵新坡面AC的坡度为1∶√3，∴tan∠CAH = 1/√3 = √3/3. ∴∠CAH = 30°，即新坡面AC的坡角为30°. ∵易知∠CHG = ∠G = ∠D = 90°，∴四边形CDGH为矩形. ∴CH = DG = 4 m. 在Rt△ACH中，∵∠AHC = 90°，∠CAH = 30°，∴AC = CH/sin30° = 8 m，即AC的长为8 m.
（2）新的设计方案能通过. 理由：∵坡面BC的坡度为1∶1，∴CH∶BH = 1∶1.
∴BH = CH = 4 m. ∵∠AHC = 90°，
∴AH = √(AC² - CH²) = √(8² - 4²) = 4√3（m）.
∴AB = (4√3 - 4)m. ∴AE = EB - AB = 10 - (4√3 - 4) = 14 - 4√3 ≈ 14 - 4×1.73 = 7.08（m）. ∵7.08＞7，∴新的设计方案能通过.

答案：