《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

示例2（2024·乐山改编）如图①，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺（尺是古代长度单位），将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺（假设秋千的绳索拉得很直）。
(1) 如图①，请你计算秋千绳索OA的长度。
(2) 如图②，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA''，两次位置的高度差PQ = h。根据上述条件请用含α、β和h的式子表示秋千绳索OA的长度。

解：(1) 如图③，过点A'作A'B⊥OA于点B。设秋千绳索的长度为x尺，则OA = OA' = x尺。根据题意，得AB = 5 - 1 = 4（尺），A'B = 10尺，则OB = OA - AB = (x - 4)尺。在Rt△OA'B中，∵∠OBA' = 90°，∴$A'B^{2}+OB^{2}=OA'^{2}$，即$10^{2}+(x - 4)^{2}=x^{2}$，解得x = 14.5。∴秋千绳索OA的长度为14.5尺。
(2) 根据题意，得∠OPA' = ∠OQA'' = 90°，OA' = OA'' = OA。在Rt△OA'P中，∵∠OPA' = 90°，∴$\cos\alpha=\frac{OP}{OA}$。∴OP = OA'·$\cos\alpha$ = OA·$\cos\alpha$。同理，可得OQ = OA''·$\cos\beta$ = OA·$\cos\beta$。∵OQ - OP = h，∴OA·$\cos\beta$ - OA·$\cos\alpha$ = h。∴OA·$(\cos\beta - \cos\alpha)=h$。∵OA＞0，h＞0，∴$\cos\beta - \cos\alpha＞0$。∴OA = $\frac{h}{\cos\beta - \cos\alpha}$。

答案：