《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例2（2024·玄武期末）如图①，⊙O与△OAB的边AB相切于点B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转并以点B为位似中心，按一定比例缩小得到△B′A′B，且点A′，B′落在⊙O上.若AB=2$\sqrt{5}$，A′B=4，则⊙O的半径为（ ）
A. $\sqrt{5}$ B. 2.5 C. $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D. 3

解析：设⊙O的半径为r，则OB=r.如图②，设△OAB绕点B按顺时针方向旋转后得到的三角形为△DCB，则△DCB≌△OAB，∠CBD = ∠ABO.因为AB与⊙O相切于点B，所以OB⊥AB.所以∠CBD=∠ABO=90°.因为以点B为位似中心，把△DCB按一定比例缩小得到△B′A′B，所以△ B′A′B∽△DCB，∠A′BB′=90°.所以A′B′是⊙O的直径.所以A′B′=2r.因为△DCB≌△OAB，△ B′A′B∽△DCB，所以△B′A′B∽△OAB.所以$\frac{BB′}{BO}=\frac{A′B}{AB}$，即$\frac{BB′}{r}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，解得$BB′=\frac{2}{\sqrt{5}}r$.因为∠A′BB′=90°，所以A′B² + BB′²=A′B′².所以$4^{2}+(\frac{2}{\sqrt{5}}r)^{2}=(2r)^{2}$，解得r = $\sqrt{5}$（负值舍去）.所以⊙O的半径为$\sqrt{5}$.

非常点评
本题是2024年玄武区期末卷中的选择压轴题，命题者的意图是像题解那样画出图形进行解答.所以正确画出图②是本题的难点.由于本题是选择题，故在解题时，可以跳过画图②这个难点，直接根据题图得出A′B′是⊙O的直径，△B′A′B∽△OAB进行解答，从而降低题目难度.

答案：

典例3（靖江期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，△OCD是△OAB的位似图形，且以点O为位似中心，与△OAB的相似比为$\frac{1}{3}$.若点A的坐标为(3，2)，则点A的对应点C的坐标为____________.

解析：因为以原点O为位似中心，△OCD与△OAB的相似比为$\frac{1}{3}$，所以点A(3，2)的对应点C的坐标为$(3\times\frac{1}{3},2\times\frac{1}{3})$或$(-3\times\frac{1}{3},-2\times\frac{1}{3})$，即$(1,\frac{2}{3})$或$(-1,-\frac{2}{3})$.

对接教材
本题与教材P80习题6.6第2题对应，都属于确定位似三角形中对应点的坐标.在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，与原图形的相似比为k，那么位似图形（变换后的与原来的）对应点的坐标的比等于k或－k，据此即可求得答案.同时本题还体现了分类讨论的数学思想，若忽视这一点就会因考虑不全面而漏解.

答案：