《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型1 求线段的长
典例6（2024·淮安）如图①，正六边形ABCDEF的边长为2，P为边AB的中点.一束光线从AB的中点P发出，经过边EF上一点Q，反射后恰好经过另一个顶点C，则QE的长为________.

解析：如图②，过点Q作QN⊥BC于点N，连接CE，易得∠ECN = ∠CEQ = 90° = ∠QNC.所以四边形QNCE为矩形.所以QE = CN.延长QP，交CB的延长线于点G，分别过点D、P作DH⊥CE于点H、PM⊥BG于点M.因为六边形ABCDEF为正六边形，所以AB = BC = CD = DE = EF = FA = 2，∠CDE = ∠ABC = 120°.所以∠DCH = 30°.因为DH⊥CE，所以EC = 2CH.因为∠CHD = 90°，∠DCH = 30°，所以易得DH = $\frac{1}{2}$CD = 1.所以CH = $\sqrt{CD² - DH²}$ = $\sqrt{3}$.所以QN = EC = 2CH = 2$\sqrt{3}$.根据入射角等于反射角，得∠GQN = ∠CQN.在△GQN和△CQN中，$\begin{cases}∠GQN = ∠CQN, \\ QN = QN, \\ ∠GNQ = ∠CNQ = 90°, \end{cases}$所以△GQN≌△CQN.所以GN = CN，∠G = ∠QCN.所以CN = $\frac{1}{2}$CG = $\frac{1}{2}$(BC + BG) = $\frac{1}{2}$(2 + BG).因为∠PMG = ∠QNC = 90°，所以△PGM∽△QCN.所以$\frac{PM}{QN}$ = $\frac{GM}{CN}$.设BG = x，则CN = $\frac{1}{2}$(2 + x).因为∠PMB = 90°，PB = $\frac{1}{2}$AB = 1，∠PBG = 180° - ∠ABC = 60°，所以∠MPB = 30°.所以易得BM = $\frac{1}{2}$.所以PM = $\sqrt{PB² - BM²}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，GM = BG - BM = x - $\frac{1}{2}$.因为$\frac{PM}{QN}$ = $\frac{GM}{CN}$，所以$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}(2 + x)}$，解得x = $\frac{6}{7}$.所以QE = CN = $\frac{1}{2}$(2 + x) = $\frac{1}{2}$×(2 + $\frac{6}{7}$) = $\frac{10}{7}$.
答案：$\frac{10}{7}$.
非常点评
过点Q作QN⊥BC于点N，连接CE，把要求的线段QE的长转化成CN的长，是比较容易想到的.在求CN的长时，延长QP，交CB的延长线于点G，也是容易想到的，但是过点P作PM⊥BG于点M，构造△PGM∽△QCN，是不太容易想到的，这是求CN的长的难点和突破口.

答案：