《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例2（2024·怀化期末）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 8，tan B = $\frac{1}{2}$，点D在BC上，且BD = AD. 求：
（1）AB的长；
（2）cos∠ADC的值.

解析：（1）在Rt△ABC中，由正切的定义，tan B = $\frac{1}{2}$，BC = 8，可得AC的长，进而运用勾股定理可求AB的长.（2）在Rt△ACD中，要求cos∠ADC的值，只要求CD、AD的长，故设CD = x，得AD = BD = 8 - x. 结合（1）所求AC的长，在Rt△ACD中运用勾股定理列方程求出x的值，可得CD、AD的长.
解：（1）在Rt△ABC中，∵ ∠C = 90°，BC = 8，tan B = $\frac{1}{2}$，∴ tan B = $\frac{AC}{BC}$，即$\frac{1}{2}$ = $\frac{AC}{8}$. ∴ AC = 4. ∴ AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\sqrt{4^{2}+8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$.
（2）设CD = x，则AD = BD = 8 - x. 在Rt△ACD中，∠C = 90°，AD² = CD² + AC²，即(8 - x)² = x² + 16，解得x = 3. ∴ CD = 3，AD = 8 - 3 = 5. ∵ ∠ACD = 90°，∴ cos∠ADC = $\frac{CD}{AD}$ = $\frac{3}{5}$.
非常点评
第（1）小题还可以由tan B的值求出cos B，然后根据余弦的定义直接求出AB的长. 运用勾股定理构建方程，求出CD、AD的长，是解第（2）小题的关键.

答案：

典例3（阜宁期末）在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别为a、b、c，∠C = 90°，∠A - ∠B = 30°，a - b = 2$\sqrt{3}$ - 2，解这个直角三角形.
解析：这个直角三角形除∠C外的5个元素都需要求出来. 由∠A - ∠B = 30°，易得∠A、∠B的度数. 据此由锐角三角函数的定义，可得a与b之间的等量关系，再由a - b = 2$\sqrt{3}$ - 2，可用“k值法”求出a、b，进而用勾股定理求出c，解出这个直角三角形.
解：∵ ∠A - ∠B = 30°，∴ ∠A = 30° + ∠B. ∵ ∠C = 90°，∴ ∠A + ∠B = 90°. ∴ 30° + ∠B + ∠B = 90°，解得∠B = 30°. ∴ ∠A = 60°. ∴ tan A = $\frac{a}{b}$ = $\sqrt{3}$. ∴ a = $\sqrt{3}$b. 设b = k（k＞0），则a = $\sqrt{3}$k. ∵ a - b = 2$\sqrt{3}$ - 2，∴ $\sqrt{3}$k - k = 2$\sqrt{3}$ - 2，解得k = 2. ∴ b = 2，a = 2$\sqrt{3}$. ∴ 由勾股定理，得c = $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}}$ = 4.
方法归纳
由间接条件解直角三角形的方法
由间接条件解直角三角形时，一般先分析所解直角三角形的已知元素，然后挖掘边、角之间的关系，利用已知条件与隐含条件求出直角三角形中所缺的元素（在求所缺元素的时候有时会用到方程思想），最后解这个直角三角形.

答案：