《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型2 与图形的翻折的综合
典例9（2024·苏州）如图①，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 5，AC = 10，点D、E分别在AC、AB上，AE = $\sqrt{5}$AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE、CF.若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD的长为________.

解析：如图②，过点E作EH⊥AC于点H，设EF与AC相交于点O.因为∠ACB = 90°，BC = 5，AC = 10，所以AB = $\sqrt{AC² + BC²}$ = $\sqrt{10² + 5²}$ = 5$\sqrt{5}$.因为AE = $\sqrt{5}$AD，所以设AD = x，则AE = $\sqrt{5}$x.因为∠AHE = ∠ACB = 90°，∠A = ∠A，所以△AHE∽△ACB.所以$\frac{EH}{BC}$ = $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{AE}{AB}$，即$\frac{EH}{5}$ = $\frac{AH}{10}$ = $\frac{\sqrt{5}x}{5\sqrt{5}}$.所以EH = x，AH = 2x.所以DH = AH - AD = x = EH.因为∠EHO = 90°，所以∠HDE = ∠HED = $\frac{1}{2}$×(180° - 90°) = 45°.所以∠ADE = 180° - ∠HDE = 180° - 45° = 135°.因为DE是折痕，所以DF = AD = x，∠FDE = ∠ADE = 135°.所以∠FDO = 135° - 45° = 90° = ∠EHO，DF = HE.在△FDO和△EHO中，$\begin{cases}∠FDO = ∠EHO, \\ ∠DOF = ∠HOE, \\ DF = HE, \end{cases}$所以△FDO≌△EHO.所以DO = HO = $\frac{1}{2}$DH = $\frac{1}{2}$x.所以CO = AC - AD - DO = 10 - x - $\frac{1}{2}$x = 10 - $\frac{3}{2}$x.因为∠FDO = 90°，所以FD⊥AC.所以S△CEF = S△COE + S△COF = $\frac{1}{2}$CO·EH + $\frac{1}{2}$CO·DF = $\frac{1}{2}$CO·(EH + DF) = $\frac{1}{2}$(10 - $\frac{3}{2}$x)(x + x) = -$\frac{3}{2}$x² + 10x.因为S△BEC = S△ABC - S△AEC = $\frac{1}{2}$×10×5 - $\frac{1}{2}$×10·x = 25 - 5x，S△CEF = 2S△BEC，所以 -$\frac{3}{2}$x² + 10x = 2(25 - 5x).整理，得3x² - 40x + 100 = 0，解得x1 = $\frac{10}{3}$，x2 = 10（不合题意，舍去）.所以AD的长为$\frac{10}{3}$.
答案：$\frac{10}{3}$.
非常点评
题中“△CEF的面积是△BEC面积的2倍”，这个条件不能直接使用，故能使用这个已知条件就成了解这个题目的难点，突破这个难点的关键是通过设AD = x，添设辅助线，构造“A”字型相似三角形（△AHE∽△ACB）与“X”字型全等三角形（△FDO≌△EHO），用含x的代数式表示CO、EH、DF的长.通过解答本题，我们可以发现题目中不能直接运用的那个已知条件，通常是解题的突破口.

答案：