《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

题型二 运用相似三角形的性质求物体的宽
典例2（2024·临沂一模）如图①所示为装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后，液面$AB$的宽为（ ）
A. $1\mathrm{cm}$ B. $2\mathrm{cm}$ C. $3\mathrm{cm}$ D. $4\mathrm{cm}$
　　　　
解析：如图②，在右边的高脚杯中画出原液面的宽$CD$，延长$FO$，分别交$AB、CD$于点$N、M$，则$OM\perp CD$，$ON\perp AB$. 所以$OM = 15 - 7 = 8(\mathrm{cm})$，$ON = 11 - 7 = 4(\mathrm{cm})$. 因为$CD// AB$，所以$\triangle ABO\sim\triangle CDO$. 所以$\frac{AB}{CD}=\frac{ON}{OM}$. 设$AB = x\mathrm{cm}$. 所以$\frac{x}{6}=\frac{4}{8}$，解得$x = 3$. 所以$AB = 3\mathrm{cm}$. 所以液面$AB$的宽为$3\mathrm{cm}$.
答案：C.
非常点评
本题难度不大，生活气息比较浓，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活. 根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比，得到关于$AB$的方程是解题的关键.

答案：

题型三 运用相似三角形的性质求物体的高
典例3（2024·自贡改编）如图，为测量江姐故里广场雕塑的高度，九年级（2）班各学习小组的同学们在江姐故里广场上的点$E$处，用注水管确定与雕塑底部$B$处于同一水平线的$D、G$两点，并标记观测视线$DA$与$1.8\mathrm{m}$的标高线的交点$C$，即标高$CG = 1.8\mathrm{m}$，测得$DG = 1.5\mathrm{m}$. 将观测点$D$后移$24\mathrm{m}$到点$D'$处. 采用同样方法，标记观测视线$D'A$与$1.2\mathrm{m}$的标高线的交点$C'$，即$C'G' = 1.2\mathrm{m}$，测得$D'G' = 2\mathrm{m}$. 求雕塑$AB$的高度（结果精确到$1\mathrm{m}$）.
　　　　
解析：设$AB = x\mathrm{m}$，$BD = y\mathrm{m}$. 易证$\triangle DCG\sim\triangle DAB$、$\triangle D'C'G'\sim\triangle D'AB$，可得关于$x、y$的方程组，解之可得$AB$的高度.
解：设$AB = x\mathrm{m}$，$BD = y\mathrm{m}$. $\because CG\perp BD'$，$AB\perp BD'$，$\therefore CG// AB$. $\therefore \triangle DCG\sim\triangle DAB$. $\therefore \frac{CG}{AB}=\frac{DG}{DB}$. $\therefore \frac{1.8}{x}=\frac{1.5}{y}$. $\therefore 5x - 6y = 0$①. 同理，可得$\triangle D'C'G'\sim\triangle D'AB$，$\therefore \frac{C'G'}{AB}=\frac{D'G'}{D'B}$. $\therefore \frac{1.2}{x}=\frac{2}{24 + y}$. $\therefore 5x - 3y = 72$②. 联立①②，解得$\begin{cases}x = 28.8,\\y = 24.\end{cases}$ $\therefore$雕塑$AB$的高度约为$29\mathrm{m}$.
方法归纳
运用相似三角形的性质求物体的高的方法
运用相似三角形的性质求物体的高时，一般根据题意建立适当的数学模型，把题中的数量转化成图中的线段长，再找出图中的相似三角形，并根据相似三角形的性质，得到比例式来解答. 这个方法可以概括为“问题落图中，图中找相似，相似得比例，比例来列式，列式来计算”.

答案：