《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例6（连云港中考）如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，以点C为圆心，CB长为半径作⊙C，D为⊙C上一点，连接AD、CD，AB = AD.
（1）求证：AD是⊙C的切线；
（2）延长AD、BC相交于点E，若$S_{\triangle EDC}=2S_{\triangle ABC}$，求tan∠BAC的值.
　　　　　　　　　　　　　　　
解析：（1）由于点D在⊙C上，故只要证CD⊥AD即可. （2）由于∠ABC = 90°，故要求tan∠BAC的值，可求$\frac{BC}{AB}$的值. 由图可得△EDC∽△EBA，故考虑把$\frac{BC}{AB}$转化成两个三角形的相似比$\frac{CD}{AB}$，结合已知，可求出△EDC和△EBA的面积比，据此可得它们的相似比.
解：（1）在△ABC和△ADC中，$\begin{cases}AB = AD\\BC = DC\\AC = AC\end{cases}$
∴△ABC≌△ADC.
∴∠ABC = ∠ADC = 90°. ∴CD⊥AD.
又∵点D在⊙C上，
∴AD是⊙C的切线.
（2）由（1），易得∠EDC = ∠ABC = 90°.
又∵∠E = ∠E，
∴△EDC∽△EBA.
设$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ADC}=k$.
∵$S_{\triangle EDC}=2S_{\triangle ABC}$，
∴$S_{\triangle EDC}=2k$. ∴$\frac{S_{\triangle EDC}}{S_{\triangle EBA}}=\frac{2k}{2k + k + k}=\frac{1}{2}$.
∵△EDC∽△EBA，
∴$\frac{CD}{AB}=\sqrt{\frac{S_{\triangle EDC}}{S_{\triangle EBA}}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∵CD = BC，∴$\frac{BC}{AB}=\frac{CD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
在Rt△ABC中，∵∠ABC = 90°，
∴$\tan\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
非常点评
解答第（2）小题有两个关键点：①把$\frac{BC}{AB}$转化成两个三角形（△EDC和△EBA）的相似比$\frac{CD}{AB}$；②求△EDC与△EBA的相似比转化成先求它们的面积比.

答案：