《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例精析
类型1 求几何图形面积的最值
典例8（2024·苏州）如图①，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，点A的坐标是(-2,0)，点C的坐标是(6,0)，函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)的图像与AB交于点D(m,4)，与BC交于点E.
(1)求m、k的值.
(2)P为函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)图像上一动点(点P在点D、E之间运动，不与点D、E重合)，过点P作PM//AB，交y轴于点M，过点P作PN//x轴，交BC于点N，连接MN.求△PMN面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

解析：(1)先求点B的坐标，然后用待定系数法求出直线AB对应的函数表达式，由点D在直线AB上得m的值.由点D在函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)的图像上得k的值.(2)如图②，延长NP，交y轴于点G，交AB于点F.设点P的坐标为(t,$\frac{8}{t}$)，△PMN的面积为S.可证GM = GP = t，得S与t之间的函数表达式，由二次函数的性质，可得S的最大值，并得此时t的值，进而得此时点P的坐标.
解：(1) ∵点A的坐标为(-2,0)，点C的坐标为(6,0)，∴AC = 8.又∵AC = BC，∴BC = 8. ∵∠ACB = 90°，∴点B的坐标为(6,8).设直线AB对应的函数表达式为y = ax + b. ∵点A(-2,0)、B(6,8)在直线y = ax + b上，∴{-2a + b = 0， 6a + b = 8，解得{a = 1， b = 2.
∴直线AB对应的函数表达式为y = x + 2. ∵点D(m,4)在直线y = x + 2上，∴4 = m + 2，解得m = 2. ∴点D的坐标为(2,4).
∵点D(2,4)在函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0，x＞0)的图像上，∴k = 2×4 = 8.
(2)如图②，延长NP，交y轴于点G，交AB于点F。设点P的坐标为(t, $\frac{8}{t}$)(t＞0)，则PG = t。易得PN = NG - PG = OC - PG = 6 - t。∵AC = BC，∠ACB = 90°，∴∠BAC = $\frac{1}{2}$×(180° - 90°) = 45°。∵PN//x轴，∴∠BFN = ∠BAC = 45°，∠NGM = 90°。∵AB//MP，∴∠MPF = ∠BFP = 45°。∴∠GMP = ∠GPM = 45°。∴GM = GP = t。设△PMN的面积为S，则S = $\frac{1}{2}$PN·MG = $\frac{1}{2}$(6 - t)·t = -$\frac{1}{2}$t² + 3t = -$\frac{1}{2}$(t - 3)² + $\frac{9}{2}$。∵-$\frac{1}{2}$＜0，∴当t = 3时，S取得最大值$\frac{9}{2}$，此时$\frac{8}{t}$ = $\frac{8}{3}$。∴△PMN面积的最大值为$\frac{9}{2}$，此时点P的坐标为(3, $\frac{8}{3}$)。

非常点评
本题属于中档题，难度不大。由AC = BC，∠ACB = 90°，求得点B的坐标，是解第(1)小题的关键。在平面直角坐标系中，求几何图形的面积最值时，我们一般首先构造函数模型，然后运用函数的性质求解。构造△PMN与点P的横坐标的函数模型，是解第(2)小题的关键。

答案：