《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例1（镇江中考改编）已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$经过点$A(-6,0)$、$B(0,2)$，且该抛物线的对称轴经过点$C(-4,8)$，求此二次函数的表达式.
解析：由抛物线的对称轴经过点$C(-4,8)$，得该抛物线的对称轴为直线$x = - 4$.又知该抛物线经过点$(-6,0)$，由对称性可知它与$x$轴的另一个交点的坐标为$(-2,0)$.如图，可以画出该二次函数的大致图像.结合此图，可用三种不同的方法求解.
　　　　　　
解：方法一：由题意，得抛物线的对称轴为直线$x = - 4$，可设此二次函数的表达式为$y = a(x + 4)^{2}+k(a\neq0)$.又$\because$抛物线经过点$A(-6,0)$、$B(0,2)$，$\therefore\begin{cases}4a + k = 0,\\16a + k = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{6},\\k = -\frac{2}{3}.\end{cases}$$\therefore$此二次函数的表达式为$y=\frac{1}{6}(x + 4)^{2}-\frac{2}{3}$，即$y=\frac{1}{6}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$.
方法二：由题意，得抛物线的对称轴为直线$x = - 4$，抛物线与$x$轴的一个交点坐标为$(-6,0)$，由对称性，可知抛物线与$x$轴的另一个交点坐标为$(-2,0)$.可设此二次函数的表达式为$y = a(x + 6)(x + 2)(a\neq0)$.又$\because$抛物线经过点$B(0,2)$，$\therefore2 = a\times(0 + 6)\times(0 + 2)$，解得$a=\frac{1}{6}$.$\therefore$此二次函数的表达式为$y=\frac{1}{6}(x + 6)(x + 2)$，即$y=\frac{1}{6}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$.
方法三：由题意，得抛物线的对称轴为直线$x = - 4$，又$\because$抛物线经过点$A(-6,0)$、$B(0,2)$，$\therefore\begin{cases}-\frac{b}{2a}=-4,\\36a - 6b + c = 0,\\c = 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{6},\\b=\frac{4}{3},\\c = 2.\end{cases}$$\therefore$此二次函数的表达式为$y=\frac{1}{6}x^{2}+\frac{4}{3}x + 2$.
非常点评
比较题解中的三种方法，可以看出方法一与方法二比较简便.通常情况下，若已知或能求出抛物线的顶点或与顶点相关的条件，则选用顶点式求解比较简单；若根据已知能求出抛物线与$x$轴的交点，则选用交点式求解比较简单.

答案：