《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例3 已知四边形ABCD∽四边形$A'B'C'D'$，$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle B' = 85^{\circ}$，$\angle C = (x + 15)^{\circ}$，$\angle D'=(2x - 25)^{\circ}$. 求$\angle C'$、$\angle D$的度数.
解析：根据相似多边形的性质，可知$\angle B$的度数，则可得$\angle C+\angle D$的度数. 将$\angle C+\angle D$用含$x$的代数式表示，列出方程，解之可得答案.
解：∵ 四边形ABCD∽四边形$A'B'C'D'$，∴ $\angle B=\angle B' = 85^{\circ}$，$\angle C=\angle C'=(x + 15)^{\circ}$，$\angle D=\angle D'=(2x - 25)^{\circ}$. ∵ 在四边形ABCD中，$\angle C+\angle D = 360^{\circ}-\angle A-\angle B = 360^{\circ}-45^{\circ}-85^{\circ}=230^{\circ}$，∴ $(x + 15)+(2x - 25)=230$，解得$x = 80$. ∴ $\angle C'=\angle C=(80 + 15)^{\circ}=95^{\circ}$，$\angle D=\angle D'=(2×80 - 25)^{\circ}=135^{\circ}$.
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根据相似多边形的对应角相等，可求对应的角的度数，在求相关的角的度数时，有时需要用到多边形的内角和公式，对于不能直接求解的题目，有时还需要用到方程思想.

答案：

典例4（2024·榆林三模）如图，将矩形ABCD沿EF对折后，矩形AEFB与矩形ABCD相似. 若$AD = 2$，则AB的长为_______.
　　　　　　　　　　　
解析：设$AB = x$. 因为$AD = 2$，所以$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×2 = 1$. 因为矩形AEFB与矩形ABCD相似，所以$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{x}{2}=\frac{1}{x}$，解得$x=\sqrt{2}$（负值舍去）. 所以$AB=\sqrt{2}$，即AB的长为$\sqrt{2}$.
答案：$\sqrt{2}$.
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在解与相似多边形相关的题目时，如果需要求某条边的长，一般通过相似多边形的性质求解. 运用相似多边形对应边成比例的性质，借助方程思想得到关于AB的方程是解本题的关键.

答案：

典例5 已知△ABC∽△$A'B'C'$，△$A'B'C'$∽△$A_1B_1C_1$，求证：△ABC∽△$A_1B_1C_1$.
解析：根据三角形相似的性质和概念，从对应角、对应边两个角度来说明.
证明：∵ △ABC∽△$A'B'C'$，∴ $\angle A=\angle A'$，$\angle B=\angle B'$，$\angle C=\angle C'$，且$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$. 又∵ △$A'B'C'$∽△$A_1B_1C_1$，∴ $\angle A'=\angle A_1$，$\angle B'=\angle B_1$，$\angle C'=\angle C_1$，且$\frac{A'B'}{A_1B_1}=\frac{B'C'}{B_1C_1}=\frac{A'C'}{A_1C_1}$. ∴ $\angle A=\angle A_1$，$\angle B=\angle B_1$，$\angle C=\angle C_1$，且$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$. ∴ △ABC∽△$A_1B_1C_1$.
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通过解答本题可以发现三角形的相似具有传递性，即与同一个三角形相似的两个三角形相似，这个结论可以直接用于选择题、填空题.

答案：

例 AB是⊙O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形中的∠B(如图)，那么下列关于∠A与放大镜中的∠B的数量关系描述正确的是 （ ）
A. ∠A+∠B=90°
B. ∠A=∠B
C. ∠A+∠B＞90°
D. ∠A+∠B的大小无法确定

正确解答：∵AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∴∠C = 90°. ∴∠A + ∠B = 90°. ∵放大镜中的图形与原图形中的对应部分相似，∴∠B的大小不变. ∴∠A + ∠B = 90°. 故选A.
误区分析 图形放大或缩小后，形状没有发生变化，若误认为图形放大后，不仅仅是边长变长，角度也变大，就可能会选择错误答案C.

答案：