《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

类型1 求点到线的距离
典例7（2024·南京）如图①，一艘船沿着正北方向的航道行驶，其北偏西37°方向有一点B，北偏东21°方向有一点C，且BC与正北方向夹角为76°. 已知点B到航道的距离为12 km，求点C到航道的距离（参考数据：tan 76°≈4，tan 37°≈0.75，tan 21°≈$\frac{8}{21}$）.

解析：因为已知点B到航道的距离为12 km，故过点B作BD⊥航道l于点D，则BD = 12 km，记BC与航道l的交点为F，故分别在Rt△ABD、Rt△BDF中，可得AD、DF的长. 因为要求点C到航道的距离，所以过点C作CE⊥航道l于点E，线段CE的长为点C到航道的距离.
解：如图②，记BC与航道l的交点为F，分别过点B、C作BD⊥l于点D、CE⊥l于点E，则BD = 12 km，线段CE的长为点C到航道的距离. 在Rt△ABD中，∵∠ADB = 90°，∠BAD = 37°，BD = 12 km，∴tan 37° = $\frac{BD}{AD}$. ∴AD≈12÷0.75 = 16（km）. ∵BG//l，∴∠BFD = ∠GBF = 76°，∠EFC = ∠GBF = 76°. 在Rt△BDF中，∵∠BDF = 90°，∠BFD = 76°，BD = 12 km，∴tan 76° = $\frac{BD}{DF}$. ∴DF≈12÷4 = 3（km）. 在Rt△CEF中，∵∠CEF = 90°，∠EFC = 76°，∴tan 76° = $\frac{CE}{EF}$≈4. ∴设EF = x km，则CE = 4x km. ∴AE = AD + DF + EF = 16 + 3 + x = (19 + x)km. 在Rt△AEC中，∵∠AEC = 90°，∴tan∠EAC = $\frac{CE}{AE}$，即tan 21° = $\frac{4x}{19 + x}$. ∴$\frac{4x}{19 + x}\approx\frac{8}{21}$，解得x = 2. ∴CE = 4×2 = 8（km）. ∴点C到航道的距离约为8 km.
非常点评
本题辅助线比较容易想到，命题者也把数据凑的比较整，故运算难度也不大，但是要求出点C到航道的距离，需解四个直角三角形，还是比较复杂的. 如果同学们想寻找简洁的方法，那么就进入解题的误区了. 综观近几年的中考解直角三角形的应用题，通常都需要解2个以上的直角三角形才能得到答案.

答案：

类型2 动态问题
典例8（2024·苏州）如图①所示为某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB = 10 cm，BC = 20 cm，AD = 50 cm.
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长（结果保留根号）；
（2）如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα = $\frac{3}{4}$（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长（结果保留根号）.

解析：（1）由于无法直接求出CD的长，故如图④，过点C作CE⊥AD于点E，构造Rt△CED，先分别求出CE与ED的长，再由勾股定理求CD的长.（2）同理于（1），如图⑤，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G，只需分别求出CF、DF的长. 由AD的长及tanα的值，可解Rt△ADG，得AG、DG的长，据此易得CF、DF的长.
解：（1）如图④，过点C作CE⊥AD于点E，则∠AEC = 90°. 根据题意，得∠A = ∠B = 90°，∴四边形ABCE为矩形. ∴CE = AB = 10 cm，AE = BC = 20 cm. ∵AD = 50 cm，∴ED = AD - AE = 50 - 20 = 30（cm）. 在Rt△CED中，∵∠CED = 90°，∴CD = $\sqrt{CE^{2}+ED^{2}}=\sqrt{10^{2}+30^{2}} = 10\sqrt{10}$（cm）. ∴可伸缩支撑杆CD的长为10$\sqrt{10}$ cm.
（2）如图⑤，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD'于点G. 同理于（1），得四边形ABFG为矩形，∴FG = AB = 10 cm，BF = AG，∠AGD = 90°. 在Rt△ADG中，tanα = $\frac{DG}{AG}=\frac{3}{4}$，∴设DG = 3x cm，则AG = 4x cm. ∴AD = $\sqrt{AG^{2}+DG^{2}} = 5x$ cm. ∵AD = 50 cm，∴5x = 50，解得x = 10. ∴AG = 40 cm，DG = 30 cm. ∴DF = DG + FG = 30 + 10 = 40（cm）. ∴BF = AG = 40 cm. ∵BC = 20 cm，∴CF = BF - BC = 40 - 20 = 20（cm）. 在Rt△CFD中，∵∠CFD = 90°，∴CD = $\sqrt{CF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{20^{2}+40^{2}} = 20\sqrt{5}$（cm）. ∴此时可伸缩支撑杆CD的长为20$\sqrt{5}$ cm.
非常点评
本题属于动态问题，这在解直角三角形的应用题中较少见，是本题的亮点. 解这类题目时，一般需抓住在运动过程中的不变的量，如本题中与解题相关的不变的量有AB、BC、AD的长. 通过添设辅助线（通常是作某线段的垂线），把未知线段转化到直角三角形中，通过解直角三角形来求未知线段，是一种较常见的方法.

答案：