《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例4 若一个矩形的短边与长边的比值为$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$（黄金比），我们把这样的矩形叫做黄金矩形.
（1）操作：请你在如图①所示的黄金矩形ABCD(AB＞AD)中，以短边AD为一边作正方形AEFD.
（2）探究：（1）中的四边形EBCF是否是黄金矩形？若是，请予以说明；若不是，请说明理由.
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具有一般性的结论（不需要说明理由）.

解析：（1）方法不唯一，根据正方形的判定方法进行作图即可.（2）根据黄金矩形的定义，要确定四边形EBCF是否是黄金矩形，只要看它的短边与长边的比值是否是$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.（3）结合第（1）小题的操作与第（2）小题的探究进行归纳.
解：（1）方法不唯一，如图②，在AB、DC上分别截取AE = AD，DF = AD，连接EF，则四边形AEFD即为所求作的正方形AEFD.
（2）四边形EBCF是黄金矩形.
∵ 四边形AEFD是正方形，
∴ ∠AEF = 90°.
∴ ∠BEF = 90°.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = ∠C = 90°.
∴ 四边形EBCF是矩形.
设CD = a，AD = b.
由题意，得$\frac{b}{a}$ = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
∴ $\frac{CF}{EF}$ = $\frac{a - b}{b}$ = $\frac{a}{b}$ - 1 = $\frac{2}{\sqrt{5} - 1}$ - 1 = $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$.
∴ 矩形EBCF是黄金矩形.
（3）在黄金矩形内以短边为边作一个正方形后，所得到的另外一个四边形是黄金矩形.
非常点评
本题中提供了一个研究问题的数学方法，让我们感受先操作实践，然后猜想验证，最后总结归纳得出结论的思维过程。

答案：