《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例1 若二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a、b、c$为常数)的图像如图所示，结合图像求不等式$ax^{2}+bx + c＜0、ax^{2}+bx＞-c$的解集.
　　　　　　
解析：根据抛物线的对称性，可得抛物线与$x$轴的另一个交点坐标.根据图，可得抛物线在$x$轴下方的部分即$y＜0$时，自变量$x$的取值范围，此范围即为不等式$ax^{2}+bx + c＜0$的解集.同理观察抛物线在$x$轴上方的部分，可得不等式$ax^{2}+bx＞-c$的解集.
解：$\because$抛物线的对称轴为直线$x = 2$，与$x$轴的一个交点坐标为$(3,0)$，
$\therefore$易得另一个交点坐标为$(1,0)$.
$\because$当函数值$y＜0$，即$ax^{2}+bx + c＜0$时，观察抛物线，可知此时$x＜1$或$x＞3$，
$\therefore$不等式$ax^{2}+bx + c＜0$的解集为$x＜1$或$x＞3$.
又$\because$当函数值$y＞0$，即$ax^{2}+bx + c＞0$时，观察抛物线，可知此时$1＜x＜3$，
$\therefore$不等式$ax^{2}+bx＞-c$的解集为$1＜x＜3$.

答案：

题型二 图像信息题
典例2 (2024·广元)如图，抛物线$y = ax^{2}+bx + c$过点$C(0,-2)$，与$x$轴交点的横坐标分别为$x_{1}、x_{2}$，且$-1＜x_{1}＜0,2\leqslant x_{2}＜3$.有下列结论：①$a - b + c＜0$；②方程$ax^{2}+bx + c + 2 = 0$有两个不相等的实数根；③$a + b＞0$；④$a＞\frac{2}{3}$；⑤$b^{2}-4ac＞4a^{2}$.其中，正确的结论有（ ）
　　　　　　　　　　　
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解析：因为当$x = -1$时，$y = a - b + c$，由图，可知当$x = -1$时，$y＞0$，所以$a - b + c＞0$.故结论①错误.过点$C(0,-2)$作直线$y = -2$.由图，可知直线$y = -2$与抛物线$y = ax^{2}+bx + c$有两个交点，所以方程$ax^{2}+bx + c = -2$有两个不相等的实数根.因为方程$ax^{2}+bx + c = -2$可化为$ax^{2}+bx + c + 2 = 0$，所以方程$ax^{2}+bx + c + 2 = 0$有两个不相等的实数根.故结论②正确.因为抛物线的对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\times(-\frac{b}{a})=\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})$，且$-1＜x_{1}＜0,2\leqslant x_{2}＜3$，所以$\frac{1}{2}(x_{1}+x_{2})＞\frac{1}{2}\times(-1 + 2)=\frac{1}{2}$，即$-\frac{b}{2a}＞\frac{1}{2}$.因为抛物线开口向上，所以$a＞0$.所以$b＜-a$.所以$a + b＜0$.故结论③错误.因为当$x = 3$时，$y＞0$，所以$9a + 3b + c＞0$.由判断结论①的过程，得$a - b + c＞0$，则$3a - 3b + 3c＞0$.所以$12a + 4c＞0$.因为点$C(0,-2)$在抛物线上，所以$c = -2$.所以$12a - 8＞0$，解得$a＞\frac{2}{3}$.故结论④正确.$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=\frac{1}{4}\times(-\frac{b}{a})^{2}-\frac{c}{a}=\frac{1}{4}(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}=\frac{1}{4}[(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}]=\frac{1}{4}(x_{1}-x_{2})^{2}$.因为$-1＜x_{1}＜0$，所以$0＜-x_{1}＜1$.因为$2\leqslant x_{2}＜3$，所以$x_{2}-x_{1}＞2$.所以$\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}=\frac{1}{4}(x_{1}-x_{2})^{2}=\frac{1}{4}(x_{2}-x_{1})^{2}＞\frac{1}{4}\times4 = 1$.因为$4a^{2}＞0$，所以$b^{2}-4ac＞4a^{2}$.故结论⑤正确.综上所述，正确的结论有3个.
答案：C.

答案：