《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

题型三 二次函数与一元二次方程根与系数的关系的综合题
典例3 (2023·泰州)若二次函数$y = x^{2}+3x + n$的图像与$x$轴有一个交点在$y$轴右侧，则$n$的值可以是________(填一个值即可).
解析：设二次函数$y = x^{2}+3x + n$的图像与$x$轴交点的横坐标分别为$x_{1}、x_{2}$，则对应的一元二次方程$x^{2}+3x + n = 0$的根分别为$x_{1}、x_{2}$.因为图像与$x$轴有一个交点在$y$轴右侧，所以$x_{1}$与$x_{2}$中必有一个为正数，不妨设$x_{1}＞0$①.由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2} = -3$②，$x_{1}x_{2} = n$.由①②，得$x_{2}＜0$，即$x_{1}、x_{2}$为异号.所以$x_{1}x_{2}＜0$，即$n＜0$.故答案不唯一，只需要填一个负数即可.
答案：答案不唯一，如-1.

答案：

典例4 如图①，抛物线$y = x^{2}+bx - 3$与$x$轴交于$A(x_{1},0)、B(x_{2},0)$两点，且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$.
(1)求此抛物线对应的函数表达式.
(2)设此抛物线与$y$轴交于点$C$，动点$P$在线段$OB$上，过点$P$作$x$轴的垂线分别与$BC$交于点$M$，与抛物线交于点$N$.抛物线上是否存在点$Q$，使得$\triangle PQN$与$\triangle APM$的面积相等，且线段$NQ$的长最小？如果存在，请求出点$Q$的坐标；如果不存在，请说明理由.
　　　　　　
解析：(1)利用一元二次方程根与系数的关系，并结合已知条件$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$可得关于$b$的方程，解之可得$b$的值，再根据抛物线的对称轴在$y$轴的右侧，可得到答案.(2)假设存在满足题意的点$Q$，设点$P$的坐标为$(n,0)$，过点$Q$作$QR\perp PN$，垂足为$R$.利用$S_{\triangle PQN}=S_{\triangle APM}$，可求出$QR$的长，分两种情况讨论：①当点$Q$在直线$PN$的左侧时，利用点$P$的坐标及$QR$的长，在$Rt\triangle QRN$中，用勾股定理求出$NQ^{2}$，构造关于$n$的二次函数，利用二次函数的表达式确定$NQ$长的最小值及点$Q$的坐标；②当点$Q$在直线$PN$的右侧时，同理可得.若上述两种情况能求出符合题意的点$Q$的坐标，则存在；反之，则不存在.
解：(1)令$y = 0$，则$x^{2}+bx - 3 = 0$.由根与系数的关系，得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b,\\x_{1}x_{2}=-3.\end{cases}$
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=b^{2}+6$.
又$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$，
$\therefore b^{2}+6 = 10$，解得$b_{1}=-2,b_{2}=2$.
$\because$抛物线的对称轴在$y$轴的右侧，
$\therefore -\frac{b}{2}＞0$，即$b＜0$.$\therefore b=-2$.
$\therefore$此抛物线对应的函数表达式为$y = x^{2}-2x - 3$.
(2)存在.设点$P$的坐标为$(n,0)$，则点$N$的坐标为$(n,n^{2}-2n - 3)$，$PN=-n^{2}+2n + 3$.
$\because$方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，
$\therefore$点$A、B$的坐标分别为$(-1,0)、(3,0)$.
$\therefore PA=n + 1$，$PB=3 - n$.
$\because$抛物线$y = x^{2}-2x - 3$与$y$轴交于点$C$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(0,-3)$.
$\therefore$易得$OB=OC=3$，$\angle PBM = 45^{\circ}$.
$\therefore PM=PB=3 - n$.
过点$Q$作$QR\perp PN$，垂足为$R$.
$\because S_{\triangle PQN}=S_{\triangle APM}$，
$\therefore \frac{1}{2}(-n^{2}+2n + 3)\cdot QR=\frac{1}{2}(n + 1)(3 - n)$.
$\therefore QR = 1$.
①如图②，当点$Q$在直线$PN$的左侧时，点$Q$的坐标为$(n - 1,n^{2}-4n)$，点$R$的坐标为$(n,n^{2}-4n)$.
$\therefore NR=\vert n^{2}-4n-(n^{2}-2n - 3)\vert=\vert -2n + 3\vert$.
$\therefore$在$Rt\triangle QRN$中，$NQ^{2}=1+(-2n + 3)^{2}=4(n-\frac{3}{2})^{2}+1$.
$\therefore$当$n=\frac{3}{2}$时，$NQ$的长取最小值1.
此时点$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{15}{4})$.
　　　
②如图③，当点$Q$在直线$PN$的右侧时，点$Q$的坐标为$(n + 1,n^{2}-4)$，点$R$的坐标为$(n,n^{2}-4)$.
$\therefore NR=\vert n^{2}-4-(n^{2}-2n - 3)\vert=\vert 2n - 1\vert$.
同理$NQ^{2}=1+(2n - 1)^{2}=4(n-\frac{1}{2})^{2}+1$.
$\therefore$当$n=\frac{1}{2}$时，$NQ$的长取最小值1.
此时点$Q$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$.
综上所述，点$Q$的坐标为$(\frac{1}{2},-\frac{15}{4})$或$(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})$.

答案：