《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例5 如图，抛物线$y=-x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A$、$B$两点，$AB = 4$，交$y$轴于点$C$，对称轴是直线$x = 1$.
（1）求抛物线对应的函数表达式及点$C$的坐标.
（2）连接$BC$，$E$是线段$OC$上一点，点$E$关于直线$x = 1$的对称点$F$正好落在$BC$上，求点$F$的坐标.
（3）动点$M$从点$O$出发，以每秒$2$个单位长度的速度向点$B$运动，过点$M$作$x$轴的垂线，交线段$BC$于点$Q$.设运动时间为$t$秒$(t\gt0)$，$\triangle BOQ$能否为等腰三角形？若能，求出$t$的值；若不能，请说明理由.
　　　　　　
解析：（1）根据抛物线的对称性可求点$A$、$B$的坐标，利用待定系数法可求出抛物线对应的函数表达式，进而易求点$C$的坐标.（2）先根据点$E$、$F$的对称性，求出点$F$的横坐标，由于点$F$在$BC$上，只需求出直线$BC$对应的函数表达式即可.（3）先假设能，然后分$OQ = BQ$、$OB = BQ$、$OQ = OB$三种情况，分别求$t$的值，根据所求的$t$的情况判断假设的正确与否.
解：（1）设直线$x = 1$与$x$轴交于点$D$，则$OD = 1$.$\because$点$A$、$B$关于直线$x = 1$对称，$AB = 4$，$\therefore AD = BD=\frac{1}{2}AB = 2$.$\therefore OA = AD - OD = 2 - 1 = 1$，$OB = OD + BD = 1 + 2 = 3$.$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$，点$B$的坐标为$(3,0)$.把点$A$、$B$的坐标代入$y=-x^{2}+bx + c$，得$\begin{cases}-1 + b + c = 0,\\-9 + 3b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2,\\c = 3.\end{cases}$$\therefore$抛物线对应的函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$.令$x = 0$，则$y = 3$.$\therefore$点$C$的坐标为$(0,3)$.
（2）设直线$BC$对应的函数表达式为$y = mx + n$.把点$B$、$C$的坐标代入，得$\begin{cases}3m + n = 0,\\n = 3,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-1,\\n = 3.\end{cases}$$\therefore$直线$BC$对应的函数表达式为$y=-x + 3$.$\because$点$E$、$F$关于直线$x = 1$对称，且$y$轴上的点$E$到直线$x = 1$的距离为$1$，$\therefore EF = 2$.$\therefore$点$F$的横坐标为$2$.$\because$点$F$在直线$y=-x + 3$上，$\therefore$将$x = 2$代入$y=-x + 3$，得$y=-2 + 3 = 1$.$\therefore$点$F$的坐标为$(2,1)$.
（3）能.根据题意，得$OM = 2t$，$\therefore$点$M$的坐标为$(2t,0)$.$\because MQ\perp x$轴，$\therefore$点$Q$的横坐标为$2t$.$\because$点$Q$在直线$y=-x + 3$上，$\therefore$点$Q$的坐标为$(2t,-2t + 3)$.$\therefore QM = 3 - 2t\gt0$.$\therefore t\lt\frac{3}{2}$.$\because t\gt0$，$\therefore 0\lt t\lt\frac{3}{2}$.①当$OQ = BQ$时，$\because QM\perp OB$，$\therefore OM=\frac{1}{2}OB$.$\therefore 2t=\frac{1}{2}\times3$，解得$t=\frac{3}{4}$，符合题意.②当$OB = BQ$时，$\because OB = OC = 3$，$\angle BOC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle OBQ = 45^{\circ}$.$\because \angle BMQ = 90^{\circ}$，$\therefore \angle MQB = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle OBQ$.$\therefore BM = QM = 3 - 2t$.$\therefore BQ=\sqrt{BM^{2}+QM^{2}}=\sqrt{2}(3 - 2t)$.$\therefore 3=\sqrt{2}(3 - 2t)$，解得$t=\frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$，符合题意.③当$OQ = OB$时，点$Q$、$C$重合，此时$t = 0$，不符合题意.综上所述，$t$的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{6 - 3\sqrt{2}}{4}$.
非常点评
在解第（2）小题这种未知点在某个函数图像上的题时，一般首先求出这个函数的表达式，然后根据函数图像上点的特征求解.在解第（3）小题这种判断某三角形能否为等腰三角形的题时，一般首先假设能，然后类似题解那样分三种情况讨论，并借助等腰三角形的性质求解，若能求出符合题意的答案，则能；反之，则不能.

答案：