《2025年通城学典非常课课通九年级数学下册苏科版江苏专版》

典例3（东海一模）如图①，一艘渔船位于观测站A的北偏东53.2°方向的点B处，它沿正南方向航行，航行15 n mile后，观察站A测得该渔船位于南偏东63.4°方向的点D处.
（1）求证：BA = BD；
（2）若渔船从点D处继续按着原方向航行(12√3 - 6)n mile后到达点C时突然发生事故，渔船马上向观测站A处的救援队求救，救援队从点A处出发沿着哪个方向航行到达事故地点C的航程最短（参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60）？

解析：（1）因为BD与BA都在△ABD中，所以可先分别求出它们所对的∠BAD和∠ADB的度数，然后证∠BAD = ∠ADB.（2）根据两点之间线段最短，可知线段AC的长就是到达事故地点最短的航程，故求出AC与正南方向的夹角∠FAC即可. 由于易得AF//BC，故考虑把∠FAC转化成∠C. 过点A作AH⊥BC于点H，分别解Rt△ABH、Rt△ACH，可求∠C的度数.
解：（1）根据题意，易得∠FAD = ∠ADB = 63.4°，∠EAB = ∠B = 53.2°. ∴∠BAD = 180° - ∠EAB - ∠FAD = 180° - 53.2° - 63.4° = 63.4°. ∴∠BAD = ∠ADB. ∴BA = BD.
（2）如图②，过点A作AH⊥BC于点H. 根据题意，得AB = BD = 15 n mile，CD = (12√3 - 6)n mile. 在Rt△ABH中，
∵∠AHB = 90°，∴sinB = AH/AB，cosB = BH/AB.
∴AH≈12 n mile，BH≈9 n mile. ∴HD = BD - BH = 15 - 9 = 6（n mile）. ∴CH = HD + CD = 6 + (12√3 - 6) = 12√3（n mile）. 在Rt△ACH中，∵∠AHC = 90°，∴tanC = AH/CH = 12/(12√3) = √3/3. ∵由题意，得∠C为锐角，
∴∠C = 30°. ∵易得AF//BC，∴∠FAC = ∠C = 30°. ∴救援队从点A处出发沿着南偏东30°方向航行到达事故地点C的航程最短.

答案：

典例4 某市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务. 如图①所示为某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，如图②所示为其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮的半径为32 cm，∠BCD = 64°，BC = 60 cm，坐垫E与点B的距离BE为15 cm（精确到0.1 cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）.
（1）求坐垫E到地面的距离.
（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适. 小明的腿长约为80 cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E′，求EE′的长.
　
　　　　　　
解析：（1）过点E作EM⊥CD于点M，延长EM交l于点N，则点E到地面的距离为EN的长，可转化成EM与MN的和来求.（2）由于EE′ = CE - CE′，CE为已知线段，故要求EE′的长只需求CE′的长，考虑过点E′作E′H⊥CD于点H，在Rt△CE′H中求CE′的长.
解：（1）如图③，过点E作EM⊥CD于点M，延长EM交l于点N，设l与⊙D相切于点G，连接DG. 根据题意，得∠BCM = 64°，DG = 32 cm，CE = BC + BE = 60 + 15 = 75（cm）. ∵CD//l，EM⊥CD，∴MN⊥l.
∴MN = DG = 32 cm. 在Rt△CEM中，
∵∠CME = 90°，∴EM = CE·sin∠BCM = 75×sin64°≈67.5（cm）. ∴EN = EM + MN = 99.5 cm. ∴坐垫E到地面的距离约为99.5 cm.
（2）如图③，过点E′作E′H⊥CD于点H. 根据题意，得E′H≈80×0.8 = 64（cm）. 在Rt△CE′H中，∵∠CHE′ = 90°，∴CE′ = E′H/sin∠BCM ≈ 71.11 cm. ∴EE′ = CE - CE′≈3.9 cm. ∴EE′的长约为3.9 cm.

答案：