《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

11. [2024·重庆]如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD = CA，过点D作DE//CB，且DE = DC，连接AE交BC于点F. 若∠CAB = ∠CFA，CF = 1，则BF = ________.
　　　　

答案： 3 【点拨】
∵CD = CA，DE//CB，
∴CF 是△ADE 的中位线.
∴DE = 2CF = 2.
∵DE = CD = AC，
∴AC = 2.
∵∠CAB = ∠CFA，∠ACF = ∠ACB，
∴△CAF∽△CBA.
∴AC:BC = CF:CA，即 2:BC = 1:2.
∴BC = 4.
∴BF = BC - FC = 3.

12. [2024·海南]如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM = 40 cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________.

答案： 80 cm

13. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，F为AD上一点，且BF = BD，BF的延长线交AC于点E.
（1）求证：AB·AD = AF·AC；
（2）若∠BAC = 60°，AB = 4，AC = 6，求DF的长.

答案：

(1)【证明】
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAF = ∠DAC. 又
∵BF = BD，
∴∠BFD = ∠FDB.
∴∠AFB = ∠ADC.
∴△AFB∽△ADC.
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AB}{AC}$，即 AB·AD = AF·AC.
(2)【解】如图，作 BH⊥AD 于点 H，作 CN⊥AD，交 AD 的延长线于点 N.
∵∠BAC = 60°，AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAD = 30°.
∴BH = $\frac{1}{2}$AB = 2，CN = $\frac{1}{2}$AC = 3.
∴易得 AH = $2\sqrt{3}$，AN = $3\sqrt{3}$.
∴HN = $\sqrt{3}$.
∵∠BDH = ∠CDN，∠BHD = ∠CND = 90°，
∴△BHD∽△CND.
∴$\frac{HD}{ND}=\frac{BH}{CN}=\frac{2}{3}$. 又
∵DH + DN = HN，
∴HD = $\frac{2\sqrt{3}}{5}$. 又
∵BF = BD，BH⊥DF，
∴DF = 2HD = $\frac{4\sqrt{3}}{5}$.

14.【问题背景】如图①，在△ABC中，点D，E分别在AC，AB上，2∠EDB + ∠BDC = 180°，∠DEB = 90°，求证：AE = BE.
【变式迁移】如图②，在四边形DEBC中，2∠EDB + ∠BDC = 180°，∠DEB = 90°，DF//EB，DF分别交CE，BC于点G，F，求证：DG = FG.
【拓展应用】如图③，在四边形DECB中，2∠DBE + ∠EBC = 180°，∠EDB = ∠DCB，$\frac{DB}{CD}$=$\frac{1}{n}$，且n＞1，直接写出$\frac{BC}{BE}$的值.

答案：
【问题背景】【证明】
∵2∠EDB + ∠BDC = 180°，∠ADB + ∠BDC = 180°，
∴∠ADB = 2∠EDB.
∴∠ADE = ∠EDB.
∵∠DEB = 90°，
∴∠DEA = 90° = ∠DEB. 在△DEA 和△DEB 中，$\begin{cases}∠ADE = ∠BDE\\DE = DE\\∠DEA = ∠DEB\end{cases}$，
∴△DEA≌△DEB(ASA).
∴AE = BE.
【变式迁移】【证明】如图，延长 CD，BE 交于点 M.
∵DF//BE，
∴易知△CDG∽△CME，△CFG∽△CBE.
∴$\frac{DG}{ME}=\frac{CG}{CE}$，$\frac{FG}{BE}=\frac{CG}{CE}$.
∴$\frac{DG}{ME}=\frac{FG}{BE}$. 由【问题背景】知 ME = BE，
∴DG = FG.
【拓展应用】【解】$\frac{BC}{BE}=n^{2}-1$. 【点拨】如图，延长 CB，在 CB 的延长线上截取 BP = BE，连接 DP. 易知∠DBP = ∠DBE. 在△DBE 和△DBP 中，$\begin{cases}BE = BP\\∠DBE = ∠DBP\\BD = BD\end{cases}$，
∴△DBE≌△DBP(SAS).
∴∠EDB = ∠PDB.
∵∠EDB = ∠DCB，
∴∠PDB = ∠DCP. 又
∵∠P = ∠P，
∴△DPB∽△CPD.
∴$\frac{DB}{CD}=\frac{BP}{DP}=\frac{PD}{PC}$.
∵$\frac{DB}{CD}=\frac{1}{n}$，
∴$\frac{BP}{DP}=\frac{PD}{PC}=\frac{1}{n}$. 设 BP = 1，则 PD = n，
∴$\frac{1}{n}=\frac{n}{PC}$，即 PC = $n^{2}$.
∴BC = PC - BP = $n^{2}-1$.
∴$\frac{BC}{BE}=\frac{BC}{BP}=\frac{n^{2}-1}{1}=n^{2}-1$.