《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

15. [2024·日照东港区校级月考] 已知实数$a$，$b$在数轴上的对应点的位置如图所示，化简式子：$\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}+\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt{(a - 1)^{2}}+\sqrt{(b + 1)^{2}}$.

答案：
【解】根据数轴可知 $b ＜ -1 ＜ 0 ＜ a ＜ 1$，则 $a - b＞0$，$a - 1＜0$，$b + 1＜0$，
∴ $\sqrt{a^{2}}+\sqrt{b^{2}}+\sqrt{(a - b)^{2}}+\sqrt{(a - 1)^{2}}+\sqrt{(b + 1)^{2}}$ $= a+(-b)+(a - b)+(1 - a)-(b + 1)$ $= a - b+a - b+1 - a - b - 1=a - 3b$.☑点技巧 化简形如 $\sqrt{a^{2}}$ 的式子，也就是化简 $\vert a\vert$.化简 $\vert a\vert$，首先判断 $a$ 的正负，当 $a＞0$时，$\vert a\vert = a$；当 $a = 0$时，$\vert a\vert = 0$；当 $a ＜ 0$时，$\vert a\vert=-a$.

16. 已知$y=\sqrt{(x - 4)^{2}}-x + 5$，当$x$分别取1，2，3，…，2 025时，求所对应的$y$值的总和.

答案： 【解】由题可知 $y = \sqrt{(x - 4)^{2}} - x + 5=\vert x - 4\vert - x + 5$.当 $x\leqslant4$时，$y = -(x - 4) - x + 5 = 9 - 2x$；当 $x\geqslant5$时，$y = (x - 4) - x + 5 = 1$.
∴当 $x$分别取 $1,2,3,\cdots,2025$时，所对应的 $y$值的总和为 $(9 - 2\times1)+(9 - 2\times2)+(9 - 2\times3)+(9 - 2\times4)+1\times(2025 - 4)=7 + 5 + 3 + 1 + 2021 = 2037$.

17. [新考法 分类讨论法] 某同学在作业本上做了这样一道题：“当$a = ●$时，试求$(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a^{2}-2a + 1}$的值.”其中，●是被墨水弄污的，该同学求得的答案为$\frac{1}{2}$，该同学的答案是否正确？请说明理由.

答案： 【解】该同学的答案不正确.理由如下:$(\sqrt{a})^{2}+\sqrt{a^{2}-2a + 1}=\vert a\vert+\vert a - 1\vert$，①当 $a\geqslant1$时，原式 $= a + a - 1 = 2a - 1\geqslant1$；②当 $0\leqslant a ＜ 1$时，原式 $= a - a + 1 = 1$.综上，在满足条件的范围内，无论 $a$取何值，原式的值都大于或等于1，不可能为 $\frac{1}{2}$.
∴该同学的答案不正确.

18. (1)设$\sqrt{2}=a$，$\sqrt{3}=b$，则$\sqrt{216}$用含$a$，$b$的式子可以表示为 ________，$\sqrt{0.54}$用含$a$，$b$的式子可以表示为 ________；
(2)已知$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{30}\approx5.477$，不用计算器求$\sqrt{2.7}$的值.（结果保留三位小数）

答案： 【解】
(1) $6ab$；$0.3ab$
(2) $\sqrt{2.7}=\sqrt{30\times0.09}=\sqrt{30}\times\sqrt{0.09}=0.3\sqrt{30}\approx0.3\times5.477\approx1.643$.

19. [新考法 阅读类比法] 先阅读下面例题的解答过程，然后作答.
例题：化简$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$.
解：先观察$8 + 2\sqrt{15}$，
由于$8 = 5 + 3$，即$8 = (\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{3})^{2}$，且$15 = 5\times3$，即$2\sqrt{15}=2\times\sqrt{5}\times\sqrt{3}$，
则有$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}=\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$.
试用上述例题的方法化简：$\sqrt{15 + 4\sqrt{14}}$.

答案： 【解】$\sqrt{15 + 4\sqrt{14}}=\sqrt{(\sqrt{7})^{2}+4\sqrt{14}+(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{(\sqrt{7}+2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{7}+2\sqrt{2}$