《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

12. 计算：
(1)$\sqrt{48}+\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}$；
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}-\frac{1}{1-\sqrt{2}}$.

答案：
(1)$\sqrt{48}\div\sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{12}+\sqrt{24}$
$=4\sqrt{3}\div\sqrt{3}-\sqrt{6}+2\sqrt{6}$
$=5\sqrt{3}+\sqrt{6}$.
(2)$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-\sqrt{(1 - \sqrt{2})^{2}}-\frac{1}{1-\sqrt{2}}$
$=(\sqrt{2})^{2}-1-\vert1-\sqrt{2}\vert-\frac{1+\sqrt{2}}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}$
$=2 - 1+1-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}$
$=3$.

13. [2024·济宁任城区期中]先化简，再求值：$b\sqrt{\frac{9a}{b}}+\frac{1}{b}\sqrt{ab^3}-2a\sqrt{\frac{b}{a}}$，其中$b=\sqrt{a - 2}+\sqrt{2 - a}+1$.

答案： $\because b=\sqrt{a - 2}+\sqrt{2 - a}+1$,
$\therefore a - 2\geqslant0,2 - a\geqslant0.\therefore a = 2.\therefore b = 1$.
$\therefore$原式$=3b\cdot\frac{\sqrt{ab}}{b}+\frac{1}{b}\cdot b\sqrt{ab}-2a\cdot\frac{\sqrt{ab}}{a}=3\sqrt{ab}+\sqrt{ab}-2\sqrt{ab}=2\sqrt{ab}=2\sqrt{2}$.

14. [2024·烟台福山区期中]如图，将长和宽分别是$a$，$b$的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为$x$的正方形.
(1)用含$a$，$b$，$x$的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当$a = 20+2\sqrt{2}$，$b = 20-2\sqrt{2}$，$x=\sqrt{2}$时，求剩余部分的面积.

答案：
(1)纸片剩余部分的面积为$ab - 4x^{2}$.
(2)把$a = 20+2\sqrt{2},b = 20 - 2\sqrt{2},x=\sqrt{2}$代入$ab - 4x^{2}$,得
$(20 + 2\sqrt{2})(20 - 2\sqrt{2})-4\times(\sqrt{2})^{2}=400 - 8 - 4\times2=400 - 8 - 8 = 384$.

15. [核心素养 运算能力]阅读下面材料：
将边长为$a$，$a+\sqrt{b}$，$a + 2\sqrt{b}$，$a + 3\sqrt{b}$的正方形面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$，
则$S_2 - S_1=(a+\sqrt{b})^2-a^2$
$=[(a+\sqrt{b})+a][(a+\sqrt{b})-a]$
$=(2a+\sqrt{b})\cdot\sqrt{b}$
$=b + 2a\sqrt{b}$.
例如：当$a = 1$，$b = 3$时，$S_2 - S_1=3+2\sqrt{3}$.
根据以上材料解答下列问题：
(1)当$a = 1$，$b = 3$时，$S_3 - S_2=$_______，$S_4 - S_3=$_______.
(2)当$a = 1$，$b = 3$时，把边长为$a + n\sqrt{b}$的正方形面积记作$S_{n + 1}$，其中$n$是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出$S_{n + 1}-S_n$等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当$a = 1$，$b = 3$时，令$t_1=S_2 - S_1$，$t_2=S_3 - S_2$，$t_3=S_4 - S_3$，$\cdots$，$t_n=S_{n + 1}-S_n$，且$T=t_1+t_2+t_3+\cdots+t_{50}$，求$T$的值.

答案：
(1)$9 + 2\sqrt{3};15+2\sqrt{3}$
【点拨】$S_{3}-S_{2}=(a + 2\sqrt{b})^{2}-(a+\sqrt{b})^{2}$
$=[(a + 2\sqrt{b})+(a+\sqrt{b})][(a + 2\sqrt{b})-(a+\sqrt{b})]$
$=(2a + 3\sqrt{b})\cdot\sqrt{b}$
$=2a\sqrt{b}+3b$,
当$a = 1,b = 3$时,$S_{3}-S_{2}=9 + 2\sqrt{3}$;
$S_{4}-S_{3}=(a + 3\sqrt{b})^{2}-(a + 2\sqrt{b})^{2}$
$=[(a + 3\sqrt{b})+(a + 2\sqrt{b})][(a + 3\sqrt{b})-(a + 2\sqrt{b})]$
$=2a\sqrt{b}+5b$,
当$a = 1,b = 3$时,$S_{4}-S_{3}=15 + 2\sqrt{3}$.
(2)$S_{n + 1}-S_{n}=6n - 3+2\sqrt{3}$.
证明:$S_{n + 1}-S_{n}$
$=(1+\sqrt{3}n)^{2}-[1+(n - 1)\sqrt{3}]^{2}$
$=[2+(2n - 1)\sqrt{3}]\times\sqrt{3}$
$=3(2n - 1)+2\sqrt{3}$
$=6n - 3+2\sqrt{3}$.
(3)当$a = 1,b = 3$时,$T=t_{1}+t_{2}+t_{3}+\cdots+t_{50}$
$=S_{2}-S_{1}+S_{3}-S_{2}+S_{4}-S_{3}+\cdots+S_{51}-S_{50}$
$=S_{51}-S_{1}$
$=(1 + 50\sqrt{3})^{2}-1$
$=7500+100\sqrt{3}$.