《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

9. 在解方程$2x^{2}+4x + 1 = 0$时，对方程进行配方，对于两人的做法，下列说法正确的是 （ ）
小思：$2x^{2}+4x=-1$，$x^{2}+2x=-\frac{1}{2}$，$x^{2}+2x + 1=-\frac{1}{2}+1$，$(x + 1)^{2}=\frac{1}{2}$.
小博：$2x^{2}+4x=-1$，$4x^{2}+8x=-2$，$4x^{2}+8x + 4=-2 + 4$，$(2x + 2)^{2}=2$.
A. 两人都正确
B. 小思正确，小博不正确
C. 小思不正确，小博正确
D. 两人都不正确

答案： A

10. 当$x =$_______时，代数式$3x^{2}-2x + 1$有最_______值，这个值是_______.

答案： $\frac{1}{3}$；小；$\frac{2}{3}$

11. 我们知道方程$x^{2}+2x - 3 = 0$的两根分别是$x_{1}=1$，$x_{2}=-3$，现给出另一个方程$(2x + 3)^{2}+2(2x + 3)-3 = 0$，它的两根分别是___________.

答案： $x_{1}=-1,x_{2}=-3$ 【点拨】$\because x_{1}=1,x_{2}=-3$是已知方程$x^{2}+2x - 3=0$的两根，由于另一个方程$(2x + 3)^{2}+2(2x + 3)-3=0$与已知方程的形式完全相同，$\therefore 2x + 3=1$或$2x + 3=-3$，解得$x_{1}=-1,x_{2}=-3$.

12. 新视角 新定义题 定义新运算“$\oplus$”如下：当$a\geq b$时，$a\oplus b = ab - a$；当$a ＜ b$时，$a\oplus b = ab + a$.
(1)计算：$(-2)\oplus(-\frac{1}{2})$；
(2)若$2x\oplus(x + 1)=8$，求$x$的值.

答案： 【解】
(1)$\because -2＜-\frac{1}{2}$，$\therefore (-2)\oplus(-\frac{1}{2})=-2×(-\frac{1}{2})+(-2)=1 - 2=-1$.
(2)当$2x\geqslant x + 1$，即$x\geqslant1$时，$2x\oplus(x + 1)=2x(x + 1)-2x$，
则$2x(x + 1)-2x=8$，解得$x_{1}=2,x_{2}=-2$(舍去)，
$\therefore x=2$；
当$2x＜x + 1$，即$x＜1$时，$2x\oplus(x + 1)=2x(x + 1)+2x$，
则$2x(x + 1)+2x=8$，解得$x_{1}=-1+\sqrt{5}$(舍去)，$x_{2}=-1-\sqrt{5}$，$\therefore x=-1-\sqrt{5}$.
综上所述，$x$的值为2或$-1-\sqrt{5}$.

13. 新考法 阅读类比法 阅读材料：我们都知道$a^{2}+2ab + b^{2}=(a + b)^{2}$，$a^{2}-2ab + b^{2}=(a - b)^{2}$.
于是，$-2x^{2}+40x + 5=-2(x^{2}-20x)+5=-2(x^{2}-2\cdot x\cdot10 + 10^{2}-10^{2})+5=-2[(x - 10)^{2}-100]+5=-2(x - 10)^{2}+205$.
$\because(x - 10)^{2}\geq0$，$\therefore-2(x - 10)^{2}\leq0$.
$\therefore-2(x - 10)^{2}+205\leq205$.
$\therefore-2x^{2}+40x + 5$有最大值205.
如图，某农户准备用长34 m的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1 m的正方形狗屋CEFG. 设$AB = x$ m.
(1)请用含$x$的代数式表示$BC$的长为________；
(2)设山羊活动的范围即图中阴影部分的面积为$S$ m²，请用含$x$的代数式表示$S$；
(3)求山羊活动范围$S$的最大值.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)$(32 - 2x)$m 【点拨】依题意得$AB = DC=x$m，$EF = FG = 1$m.$\because AB + DC + BC + EF + FG=34$m，$\therefore 2x + BC + 2=34$.$\therefore BC=(32 - 2x)$m.
(2)依题意得$S=S_{长方形ABCD}-S_{正方形EFGH}$，
$\therefore S=x(32 - 2x)-1$.
$\therefore S=-2x^{2}+32x - 1$.
(3)$S=-2x^{2}+32x - 1=-2(x^{2}-16x + 64)+127=-2(x - 8)^{2}+127$.
又$\because -2＜0$，$(x - 8)^{2}\geqslant0$，$\therefore -2(x - 8)^{2}\leqslant0$.
$\therefore -2(x - 8)^{2}+127\leqslant127$.
$\therefore$山羊活动范围$S$的最大值是127.