《2025年综合应用创新题典中点九年级数学下册鲁教版》

12. 如图，在△ABC中，AB = AC，点O在△ABC的内部，∠BOC = 90°，OB = OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点.
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
(2)若DE = 2，EF = 3，求△ABC的面积.

答案：

(1)【证明】如图，连接AO并延长交BC于点H.
∵AB=AC,OB=OC，
∴直线AH是BC的垂直平分线，即AH⊥BC.
∵D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点，
∴DG//EF//BC,DE//AH//GF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
∵EF//BC,AH⊥BC,
∴AH⊥EF.

又
∵DE//AH,
∴EF⊥DE.
∴∠DEF=90°.
∴四边形DEFG是矩形.
(2)【解】
∵D,E,F分别是AB,OB,OC的中点，
∴AO=2DE=4,BC=2EF=6.
∵∠BOC=90°,OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=3.
∴AH=AO+OH=4+3=7.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}\times6\times7 = 21$.

13. [2024·郑州金水区模拟]如图所示，在菱形ABCD中，AB = 4，∠BAD = 120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合.
(1)证明：不论点E，F在边BC，CD上如何滑动，总有BE = CF；
(2)当点E，F在边BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说明理由.
　　　　　　　　　　　

答案：

(1)【证明】连接AC,如图所示.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=DC=BC，
∠BAC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=60°.
∴△ABC,△ACD均为等边三角形.
∴AB=AC,∠ABC=∠2=60°.
∵△AEF是正三角形，
∴∠EAF=60°.
∴∠3+∠EAC=60°.
∵∠BAC=60°,
∴∠1+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3.
在△ABE和△ACF中，$\begin{cases}∠1 = ∠3 \\ AB = AC \\ ∠ABC = ∠2\end{cases}$，
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
∴不论点E,F在边BC,CD上如何滑动，总有BE=CF.
(2)【解】四边形AECF的面积不变.
由
(1)得△ABE≌△ACF,
∴S△ABE=S△ACF，
∴S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值.
由
(1)知BC=AB=4，
如图，作AH⊥BC于点H，则BH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AH=$\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{12}$.

∴S四边形AECF=S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AH=2$\sqrt{12}$.

14. [2024·北京朝阳区模拟]如图，在矩形ABCD中，分别以点B，D为圆心，大于$\frac{1}{2}BD$长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN与BC，AD分别交于点E，F，连接ED，已知AB = 4，BC = 8，则BE的长为________.
　　　　　　　

答案： 5

15.【阅读材料】在平面直角坐标系中，以任意两点P($x_1$,$y_1$)，Q($x_2$,$y_2$)为端点的线段的中点坐标为$(\frac{x_1 + x_2}{2},\frac{y_1 + y_2}{2})$.
【运用】(1)如图，在平面直角坐标系中，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4,3)，则点M的坐标为________；
(2)在平面直角坐标系中，有A(-1,2)，B(3,1)，C(1,4)三点，另有一点D与点A，B，C为顶点构成平行四边形，求点D的坐标.
　　　　　　　　　　　　

答案： 【解】
(1)(2,$\frac{3}{2}$)
(2)设点D的坐标为(x,y).
若以点A,B,C,D为顶点构成的四边形是平行四边形，分以下三种情况：
①当AB为对角线时，
∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4)，
∴$\frac{-1 + 3}{2}=\frac{1 + x}{2},\frac{2 + 1}{2}=\frac{4 + y}{2}$，解得x=1,y=-1.
∴点D的坐标为(1,-1).
②当BC为对角线时，
∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4)，
∴$\frac{3 + 1}{2}=\frac{-1 + x}{2},\frac{1 + 4}{2}=\frac{2 + y}{2}$，解得x=5,y=3.
∴点D的坐标为(5,3).
③当AC为对角线时，
∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4)，
∴$\frac{-1 + 1}{2}=\frac{3 + x}{2},\frac{2 + 4}{2}=\frac{1 + y}{2}$，解得x=-3,y=5.
∴点D的坐标为(-3,5).
综上，点D的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).